【数据结构与算法】最小生成树与最短路径

news2024/11/14 23:49:16

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💖 系列专栏:数据结构与算法
🌠 首发时间:2022年11月21日
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阅读指南

  • 最小生成树
    • 生成树
    • 最小生成树(最小代价树)
    • Prim 算法(普利姆)
    • Kruskal 算法(克鲁斯卡尔)
  • 最短路径
    • BFS 求无权图的单源最短路径
    • Dijkstra 算法
    • Floyd 算法
    • 总结

最小生成树

生成树

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图(边尽可能少,但要保持连通)

若图中顶点数为 n n n,则它的生成树有 n − 1 n - 1 n1 条边。对生成树而言,若砍去它的一条边,则会变成非连通图,若加上一条边则会形成一个回路

在这里插入图片描述

最小生成树(最小代价树)

我们来看一个问题:有下图这么几个地方构成的图,图中每条边上的数字是修路的费用,然后要我们规划道路,让所有地方都连通,并且成本要尽可能低

在这里插入图片描述

其实要我们找的,就是这个图的最小生成树

对于一个带权连通无向图 G = ( V , E ) G = (V, E) G=(V,E),生成树不同,每棵树的权(即树中所有边上的权值之和)也可能不同。设 R R R G G G 的所哟生成树的集合,若 T T T R R R 中边的权值之和最小的生成树,则 T T T 称为 G G G 的最小生成树( M i n i m u m − S p a n n i n g − T r e e , M S T Minimum-Spanning-Tree, MST MinimumSpanningTree,MST

注意:

  1. 最小生成树可能有多个,但边的权值之和总是唯一且最小的
  2. 最小生成树的边数等于顶点数 − 1 - 1 1,删掉一条边则不连通,增加一条边则会出现回路
  3. 如果一个连通图本身就是一棵树,则其最小生成树就是它本身
  4. 只有连通图才有生成树,非连通图只有生成森林

Prim 算法(普利姆)

从某一个顶点开始构建生成树,每次将代价最小的新顶点纳入生成树,直到所有顶点都纳入为止

在这里插入图片描述

时间复杂度为 O ( ∣ V ∣ 2 ) O(|V|^2) O(V2),适合用于边稠密图

Kruskal 算法(克鲁斯卡尔)

每次选择一条权值最小的边,使这条边的两头连通(原本已经连通的就不选),直到所有结点都连通

时间复杂度为 O ( ∣ E ∣ l o g 2 ∣ E ∣ ) O(|E|log_2|E|) O(Elog2E),适合用于边稀疏图

最短路径

在这里插入图片描述

“G港” 是个物流集散中心,经常需要往各个城市运送东西,怎么运送距离最近? —— 单源最短路径问题

各个城市之间也需要互相往来,相互之间怎么走距离最近? —— 每对顶点间的最短路径

BFS 求无权图的单源最短路径

在这里插入图片描述

无权图可以视为一种特殊的带权图,只是每条边的权值都为 1 1 1

我们对广度优先遍历的代码稍微改改,就能得到最短路径的 B F S BFS BFS 算法

//求顶点 u 到其他顶点的最短路径
void BFS_MIN_Distance(Graph G, int u) {
	//d[i] 表示从 u 到 i 结点的最短路径
	for (int i = 0; i < G.vexnum; ++i) {
		d[i] = 0;			//初始化最短路径长度
		path[i] = -1;		//最短路径是从哪个顶点过来的
	}
	
	d[u] = 0;
	visited[u] = true;
	EnQueue(Q, u);
	while (!isEmpty(Q)) {				//BFS算法主过程
		DeQueue(Q, u);					//队头元素 u 出队
		for (w = FirstNeighbor(G, u); w >= 0; w = NextNeighbor(G, u, w)) {
			if (!visited[w]) {			//w 为 u 的尚未访问的邻接顶点
				d[w] = d[u] + 1;		//路径长度加 1
				path[w] = u;			//最短路径为从 u 到 w
				visited[w] = true;		//设置已访问标记
				EnQueue(Q, w);			//顶点 w 入队
			}//if
		}//for
	}//while
}

如果我们从 2 2 2 这个顶点对图进行广度优先遍历,那么得到的广度优先生成树一定是以 2 2 2 为根的、高度最小的生成树

B F S BFS BFS 算法的局限性 —— 求单源最短路径只适用于无权图,或者所有边的权值都相同的图

Dijkstra 算法

带权路径长度 —— 当图是带权图时,一条路径上所有边的权值之和,称为该路径的带权路径长度

在这里插入图片描述

我们需要 3 3 3 个数组:

  • f i n a l final final 数组:标记各顶点是否已经找到最短路径
  • d i s t dist dist 数组:顶点的最短路径长度
  • p a t h path path 数组:路径上的前驱顶点

初始:若从 V 0 V_0 V0 开始,令 f i n a l [ 0 ] = t r u e ; d i s t [ 0 ] = 0 ; p a t h [ 0 ] = − 1 final[0] = true; dist[0] = 0; path[0] = -1 final[0]=true;dist[0]=0;path[0]=1,其余顶点 f i n a l [ k ] = f a l s e ; d i s t [ k ] = a r c s [ 0 ] [ k ] ; p a t h [ k ] = ( a r c s [ 0 ] [ k ] = = ∞ )   ? − 1 : 0 final[k] = false; dist[k] = arcs[0][k]; path[k] = (arcs[0][k] == \infty) \ ? -1 : 0 final[k]=false;dist[k]=arcs[0][k];path[k]=(arcs[0][k]==) ?1:0

后面的 n − 1 n - 1 n1 轮处理:循环遍历所有顶点,找到还没有确定最短路径,且 d i s t dist dist 最小的顶点 V i V_i Vi, 令 f i n a l [ i ] = t r u e final[i] = true final[i]=true。并检查所有邻接自 V i V_i Vi 的顶点 V j V_j Vj,若 f i n a l [ j ] = f a l s e final[j] = false final[j]=false d i s t [ i ] + a r c s [ i ] [ j ] < d i s t [ j ] dist[i] + arcs[i][j] < dist[j] dist[i]+arcs[i][j]<dist[j],则令 d i s t [ j ] = d i s t [ i ] + a r c s [ i ] [ j ] ;   p a t h [ j ] = i dist[j] = dist[i] + arcs[i][j]; \ path[j] = i dist[j]=dist[i]+arcs[i][j]; path[j]=i a r c s [ i ] [ j ] arcs[i][j] arcs[i][j] 表示 V i V_i Vi V j V_j Vj 的弧的权值)

时间复杂度为 O ( N 2 − N ) O(N^2 - N) O(N2N),简化后为 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)(其中 N N N 为顶点个数),在这个过程中,每一轮处理我们都需要循环遍历所有顶点,找到还没有确定最短路径,且 d i s t dist dist 最小的顶点 V i V_i Vi,这一步需要 O ( N ) O(N) O(N) 的时间,因为有 N N N 个点,然后有 n − 1 n - 1 n1 处理,相乘即为此算法的时间复杂度

注意:Dijkstra 算法不适用于有负权值的带权图

Floyd 算法

F l o y d Floyd Floyd 算法:求出每一对顶点之间的最短路径

使用动态规划思想,将问题的求解分为多个阶段

对于 n n n 个顶点的图 G G G,求任意一对顶点 V i V_i Vi -> V j V_j Vj 之间的最短路径可分为如下几个阶段:

  • 初始:不允许在其他顶点中转,最短路径是?
  • 0:若允许在 V 0 V_0 V0 中转,最短路径是?
  • 1:若允许在 V 0 、 V 1 V_0、V_1 V0V1 中转,最短路径是?
  • 2:若允许在 V 0 、 V 1 、 V 2 V_0、V_1、V_2 V0V1V2 中转,最短路径是?
  • n - 1:若允许在 V 0 、 V 1 、 V 2 、 . . . 、 V n − 1 V_0、V_1、V_2、... 、V_{n- 1} V0V1V2...Vn1 中转,最短路径是?

假设有如下这个图,要我们求出每一对顶点之间的最短路径

在这里插入图片描述

我们一步步来分析这个问题

初始状态,不允许在其他顶点中转,其最短路径(也就是图的邻接矩阵)为

在这里插入图片描述

每两个顶点之间的中转点为( − 1 -1 1 表示无中转点)

在这里插入图片描述

接着,下一步,若允许在 V 0 V_0 V0 中转,最短路径是什么呢?

对此,我们需要进行下列比较:

  • A ( k − 1 ) [ i ] [ j ] > A ( k − 1 ) [ i ] [ k ] + A ( k − 1 ) [ k ] [ j ] A^{(k-1)}[i][j] > A^{(k-1)}[i][k] + A^{(k-1)}[k][j] A(k1)[i][j]>A(k1)[i][k]+A(k1)[k][j],则 A ( k ) [ i ] [ j ] = A ( k − 1 ) [ i ] [ k ] + A ( k − 1 ) [ k ] [ j ] ; A^{(k)}[i][j] = A^{(k-1)}[i][k] + A^{(k-1)}[k][j]; A(k)[i][j]=A(k1)[i][k]+A(k1)[k][j];   p a t h ( k ) [ i ] [ j ] = k \ path^{(k)}[i][j] = k  path(k)[i][j]=k,否则, A ( k ) A^{(k)} A(k) A ( k − 1 ) A^{(k - 1)} A(k1) 保持原值

在前面的 A ( − 1 ) A^{(-1)} A(1) 图中,只有求 V 2 V_2 V2 V 1 V_1 V1 的最短路径时符合比较的要求:

  • A ( − 1 ) [ 2 ] [ 1 ] > A ( − 1 ) [ 2 ] [ 0 ] + A ( − 1 ) [ 0 ] [ 1 ] = 11 A^{(-1)}[2][1] > A^{(-1)}[2][0] + A^{(-1)}[0][1] = 11 A(1)[2][1]>A(1)[2][0]+A(1)[0][1]=11
  • 所以 A ( 0 ) [ 2 ] [ 1 ] = 11 ,   p a t h ( 0 ) [ 2 ] [ 1 ] = 0 A^{(0)}[2][1] = 11, \ path^{(0)}[2][1] = 0 A(0)[2][1]=11, path(0)[2][1]=0

对应的最短路径和中转点图为:

在这里插入图片描述

3 3 3 步,若允许在 V 0 、 V 1 V_0、V_1 V0V1 中转,最短路径是?

在这一步,只有求 V 0 V_0 V0 V 2 V_2 V2 的最短路径时符合比较的要求:

  • A ( 0 ) [ 0 ] [ 2 ] > A ( 0 ) [ 0 ] [ 1 ] + A ( 0 ) [ 1 ] [ 2 ] = 10 A^{(0)}[0][2] > A^{(0)}[0][1] + A^{(0)}[1][2] = 10 A(0)[0][2]>A(0)[0][1]+A(0)[1][2]=10
  • 所以 A ( 1 ) [ 0 ] [ 2 ] = 10 ,   p a t h ( 1 ) [ 0 ] [ 2 ] = 1 A^{(1)}[0][2] = 10, \ path^{(1)}[0][2] = 1 A(1)[0][2]=10, path(1)[0][2]=1

对应的最短路径和中转点图为:

在这里插入图片描述

4 4 4 步,若允许在 V 0 、 V 1 、 V 2 V_0、V_1、V_2 V0V1V2 中转,最短路径是?

在这一步,只有求 V 1 V_1 V1 V 0 V_0 V0 的最短路径时符合比较的要求:

  • A ( 1 ) [ 1 ] [ 0 ] > A ( 1 ) [ 1 ] [ 2 ] + A ( 1 ) [ 2 ] [ 0 ] = 9 A^{(1)}[1][0] > A^{(1)}[1][2] + A^{(1)}[2][0] = 9 A(1)[1][0]>A(1)[1][2]+A(1)[2][0]=9
  • 所以 A ( 2 ) [ 1 ] [ 0 ] = 9 ,   p a t h ( 2 ) [ 1 ] [ 0 ] = 2 A^{(2)}[1][0] = 9, \ path^{(2)}[1][0] = 2 A(2)[1][0]=9, path(2)[1][0]=2

对应的最短路径和中转点图为:

在这里插入图片描述

A ( − 1 ) A^{(-1)} A(1) p a t h ( − 1 ) path^{(-1)} path(1) 开始,经过 n n n 轮递推( n n n 为顶点个数),得到了 A ( n − 1 ) A^{(n-1)} A(n1) p a t h ( n − 1 ) path^{(n-1)} path(n1)

核心代码如下

//前期准备工作,根据图的信息初始化矩阵 A 和 path

//每一步比较
for (int k = 0; k < n; ++k) {						//考虑以 Vk 为中转点
	for (int i = 0; i < n; ++i) {					//遍历整个矩阵,i 为行号,j 为列号
		for (int j = 0; j < n; ++j) { 
			if (A[i][j] > A[i][k] + A[k][j]) {
				A[i][j] = A[i][k] + A[k][j];		//更新最短路径长度
				path[i][j] = k;						//更新中转点
			}
		}
	}
}

时间复杂度为 O ( ∣ V ∣ 3 ) O(|V|^3) O(V3),空间复杂度为 O ( ∣ V ∣ 2 ) O(|V|^2) O(V2)

注意:

  • F l o y d Floyd Floyd 算法可以用于负权值带权图
  • F l o y d Floyd Floyd 算法不能解决带有 “负权回路” 的图(有负权值的边组成回路),这种图有可能没有最短路径,如下图

在这里插入图片描述

总结

对比方面BFS 算法Dijkstra 算法Floyd 算法
无权图
带权图
带负权值的图
带负权回路的图
时间复杂度 O ( ∣ V ∣ 2 ) O(|V|^2) O(V2) O ( ∣ V ∣ + ∣ E ∣ ) O(|V| + |E|) O(V+E) O ( ∣ V ∣ 2 ) O(|V|^2) O(V2) O ( ∣ V ∣ 3 ) O(|V|^3) O(V3)
通常用于求无权图的单源在最短路径求带权图的单源最短路径求带权图中各顶点间的最短路径

也可以用 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra 算法求所有顶点间的最短路径,重复 ∣ V ∣ |V| V 次即可,总的时间复杂度也为 O ( ∣ V ∣ 3 ) O(|V|^3) O(V3)

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