计算机视觉：基于Numpy的图像处理技术（二）：图像主成分分析🏳️‍🌈

演示图片如图，又是机甲“小花”

图像主成分分析Ⓜ️

1、概念📙

主成分分析（PCA）是一个有用的降维方法。可以在使用尽可能少数维度下，尽可能多地保持数据的信息。我们知道小花是一副图像，具有很高的维数。在许多计算机视觉应用里，都会使用降维操作。

Numpy类库中的 flatten()方法可将图像转换成一维向量。
x ⃗ = { x 1 , x 2 , … , x n } \vec x = {\lbrace x_{1},x_{2},\dots,x_n\rbrace} x ={x1​,x2​,…,xn​}

2、原理📄

主成分分析希望能够通过旋转坐标系将数据在新的坐标系下表示，如果新的坐标系下某些轴包含的信息太少，则可以将其省略，从而达到降维的目的。

3、步骤🐾

有一组数据：可以理解为一副图像的灰度图，由多个行向量组成的矩阵。确定主成分个数的阈值t，一般选择80%左右,后续做判断使用。
z ⃗ = { z ⃗ 1 , z ⃗ 2 , … , z ⃗ n } \vec z = {\lbrace \vec z_{1},\vec z_{2},\dots,\vec z_n\rbrace} z ={z 1​,z 2​,…,z n​}

1、数据中心化：减去每一维数据的均值

均值为：

$$\vec{\mu }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\vec{z}}_i$$

将其中心化后表示为：
x ⃗ = { x ⃗ 1 , x ⃗ 2 , … , x ⃗ n } = { z ⃗ 1 − μ ⃗ , z ⃗ 2 − μ ⃗ , … , z ⃗ n − μ ⃗ } \vec x = {\lbrace \vec x_{1},\vec x_{2},\dots,\vec x_n\rbrace} ={\lbrace \vec z_{1}-\vec \mu,\vec z_{2}-\vec \mu,\dots,\vec z_n- \vec \mu\rbrace} x ={x 1​,x 2​,…,x n​}={z 1​−μ ​,z 2​−μ ​,…,z n​−μ ​}

2、求特征协方差矩阵

$$M(cov)=\vec{x}{\vec{x}}^T$$

3、计算协方差矩阵对应最大特征值的特征向量

将特征值从大到小排列，得到n个特征值
$${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$$
其对应的特征向量：
$$A={\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,\dots ,{\vec{a}}_n$$

4、根据阈值t，计算方差贡献率，确定要返回特征向量个数K

$$K=argmax\frac{{\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i}{{\sum }_{j=1}^n{\lambda }_j}\ge t$$

$$\vec{R}=A^T\vec{z}$$

4、代码实现🐍

对小花图像进行PCA，求出其特征向量、投影矩阵、方差和均值

from PIL import Image
import numpy as np


def pca(X):
    """主成分分析
    输入：矩阵X，存储训练数据，每一行为一条数据
    返回：投影矩阵（按维度重要性排序的）方差和均值
    """
    # 获取维数
    num_data ,dim = X.shape
    # print(num_data,dim)
    # 数据中心化（减去每一维的均值）
    mean_X = X.mean(axis = 0)
    X = X -mean_X
    if dim > num_data:
        # 使用紧致技巧
        # 协方差矩阵
        # M = np.dot(X,X.T)
        M = np.cov(X,rowvar=True)
        # 特征值和特征向量
        e,EV = np.linalg.eigh(M)
        # print(E,EV)
        # 紧致技巧
        tmp = np.dot(X.T,EV).T
        V = tmp[::-1]
        #求平方根需要求其绝对值
        S = np.sqrt(np.abs(e))[::-1]
        for i in range(V.shape[1]):
            V[:,i] /= S
        print("投影矩阵",V)
        print('特征向量',EV)
        return V, S, mean_X
    else:
        # 使用SVD方法
        U,S,V = np.linalg.svd(X)
        # 返回前num_data维的数据
        V = V[:num_data]
        # 返回投影矩阵，方差和均值
        print("投影矩阵",V)
        return V,S,mean_X

hua = np.array(Image.open('hua.jpg').convert('L'))
pca(hua)

小花这里没有使用SVD方法，因为她的长是大于宽的，所以采用了PCA降维，输出的投影矩阵特征向量如下：

投影矩阵 [[ 8.03605309e-02  8.39756720e-02  9.83425336e-02 ... -9.76770092e-02
  -1.07195860e-01 -6.24628102e-02]
 [ 3.86431783e-01  3.65459420e-01  3.48954567e-01 ...  1.78539067e-01
   1.60010909e-01  9.88472061e-02]
 [ 4.35651716e-01  4.36100201e-01  3.93508064e-01 ...  1.17824688e-01
   1.39685140e-01  1.07992053e-01]
 ...
 [ 2.01307349e+00  8.67143722e-01 -1.67130144e-01 ...  1.31632783e-01
  -1.57440711e+00 -1.57331512e+00]
 [-7.05993726e-01  7.58672673e-01 -2.56566104e+00 ... -1.32999335e+00
  -4.83894676e-01 -5.13382909e-01]
 [ 6.00337969e-06  1.40041622e-05  7.53382818e-06 ... -1.04562028e-05
  -1.44956931e-05 -1.41024684e-05]]
特征向量 [[ 0.05538488 -0.00144137 -0.03434008 ... -0.05946286  0.00335706
  -0.00604234]
 [ 0.05538488 -0.01475328  0.04735503 ... -0.05991643  0.00076363
  -0.00695584]
 [ 0.05538488  0.01067808 -0.01482254 ... -0.05387841  0.00558545
  -0.00799025]
 ...
 [ 0.05538488  0.006086   -0.01555427 ... -0.04001481 -0.04895945
   0.02703765]
 [ 0.05538488 -0.01572941  0.01562869 ... -0.04218723 -0.04845806
   0.02248818]
 [ 0.05538488  0.00939665 -0.00982804 ... -0.04250774 -0.04824829
   0.01907884]]