题目：给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

思路：

方法一：袖珍计算器算法。用指数函数 exp 和对数函数 ln 代替平方根函数的方法。

注意： 由于计算机无法存储浮点数的精确值，而指数函数和对数函数的参数和返回值均为浮点数，因此运算过程中会存在误差。例如当 x=2147395600 时，的计算结果与正确值46340 相差 ，这样在对结果取整数部分时，会得到 46339 这个错误的结果。因此在得到结果的整数部分 ans 后，我们应当找出 ans 与 ans+1 中哪一个是真正的答案。

方法二：二分查找

方法三：牛顿迭代

代码：

class Solution {  // 方法一
    public int mySqrt(int x) {
        if (x == 0)
            return 0;
        int ans = (int) Math.exp(0.5 * Math.log(x));
        return (long) (ans + 1) * (ans + 1) <= x ? ans + 1 : ans; 
    }
}

class Solution {  // 方法二
    public int mySqrt(int x) {
        int l = 0, r = x, ans = -1;
        while (l <= r) {
            int mid = l + (r - l) / 2;
            if ((long) mid * mid <= x) {
                ans = mid;
                l = mid + 1;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }
}

class Solution {  // 方法三
    public int mySqrt(int x) {
        if (x == 0)
            return 0;
        double C = x, x0 = x;
        while (true) {
            double x1 = 0.5 * (x0 + C / x0);
            if (Math.abs(x0 - x1) < 1e-7)
                break;
            x0 = x1;
        }
        return (int) x0;
    }
}

性能：

方法一 时间复杂度o（1）   空间复杂度o（1）

方法二 时间复杂度o（log x）   空间复杂度o（1）

方法三 时间复杂度o（log x）二次收敛，比二分查找快   空间复杂度o（1）