偏导数的计算

最基本的偏导数计算不作讨论量，就是对x求偏导，把y看成常数。

1.复合函数求偏导

首先要明确链式求导法则的以下内容

1.1 复合函数一阶偏导

下面的例子都是以抽象函数为例的，因为抽象函数是更常考的。

1.2 复合函数二阶偏导

注意:若函数的两个二阶混合偏导数在区域内均连续，则这两个二阶混合偏导数相同，与求导次序无关

2.隐函数求偏导

隐函数求一阶导数有三种求法2.1-2.3,但是隐函数求二阶偏导只有一种求法，那就是直接法，所以求二阶的时候z看成(x，y),也意味着只有公式法才看成三元独立变量。

2.1 直接法

两端同时对x求导，把y看作常数，z看作z(x,y)

如z=z(x,y)是由方程z+e^z=xy所确定，求一阶偏导数

2.2 公式法(最重要）

下面详细说明公式法的使用，分为两种情况

第一种情况是对于y=f(x)的情况，则有

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{{}^{\prime }}}{F_y^{{}^{\prime }}}$$
第二种情况是，z是关于x和y的函数，移项化为F(x,y,z)=0,则，移项完这是x，y，z是三元独立自变量。

2.3 全微分形式不变性(好用，但是可以不会)

留白待整理

3.多元函数的极值和最值

多元函数中，极值点和驻点无关系

3.1 无条件极值

方法核心:利用必要条件得到所有可疑点，利用充分条件判别可疑点是否是极值点

1.寻找可疑点
计算一阶偏导数，一阶偏导数=0的点是可疑点,导数不存在的点也可能是极值点，但是在多元函数中，一般都是可导的。

2.判别是否是极值点

3.2 最值问题

3.2.1 概要

注意在最值问题中的范围问题，如在x²+y²≤25,x²+y²<25和x²+y²=25这是三类不同的题目
≤是边界+内部，<是内部，=0是边界
内部还是用无条件极值的方法做，边界用拉格朗日乘数法做，内部+边界问题那就是两种方法同时使用

3.2.2 拉格朗日乘数法

解上述方程组得到备选点p_i，i=1,2,3,…,n，并求其最大值为u_max，u_min
在计算过程中，有些时候不要蛮力计算，要巧算

注意:一种转换思想，如求｜式子｜的最值，转换为求｜式子｜²的最值，e^式子，转换为求式子的最值等的这种简化思想

3.2.3 条件最值问题，转换为非条件最值问题

有些题的约束条件ψ(x,y,z)φ(x,y,z)中能解出z=(x,y)，则直接将其代入进f(x,y,z）中，得到f(x,y,z(x,y))，求其非条件极值

3.3 其他方法

在做题过程中，可以灵活的运用其他方法解决问题，如利用图像几何性质等做题

3.3.1 利用均值或柯西不等式(重要)

均值不等式:

柯西不等式:

3.3.2 利用极坐标

在某些有圆或椭圆的题目中，可以利用极坐标设x=rcosθ，y=rsinθ再去解决问题