• 数学杂谈：限制条件下的均匀分布考察
  • 1. 问题描述
  • 2. 问题解答
    • 1. 答案
    • 2. 解析
    • 3. 蒙特卡洛模拟
  • 3. 离散情况延拓
    • 1. 正整数的情况
    • 2. 整数的情况
    • 3. $N\to \infty$的情况
  • 4. 误区分析

1. 问题描述

假设$x_1,...,x_n$均为$0\sim 1$上的均匀分布，且满足限制条件：

$$x_1+x_2+...+x_n=1$$

求此时$x_i$的真实分布表达式。

2. 问题解答

1. 答案

限制条件下$x$的密度函数表达式如下：

$$f_n(x)=(n-1)\cdot (1-x{)}^{n-2}$$

2. 解析

我们可以快速地给出推导公式为：

$$f_n(x)=\frac{{\int }_0^{1-x}d{t}_1{\int }_0^{1-x-t_1}d{t}_2...{\int }_0^{1-x-t_1-...-t_{n-3}}d{t}_{n-2}}{{\int }_0^{1}d{t}_1{\int }_0^{1-t_1}d{t}_2...{\int }_0^{1-t_1-...-t_{n-2}}d{t}_{n-1}}$$

令

$$g_n(x)={\int }_0^{1-x}d{t}_1{\int }_0^{1-x-t_1}d{t}_2...{\int }_0^{1-x-t_1-...-t_{n-1}}d{t}_n$$

则我们有：

$$f_n(x)=g_{n-2}(x)/g_{n-1}(0)$$

而$g_n(x)$我们可以通过递归关系$g_n(x)={\int }_0^{1-x}{g}_{n-1}(1-x-t_1)d{t}_1$快速计算得到：

$$g_n(x)=\frac{1}{n!}(1-x{)}^n$$

因此，我们即可解得：

$$f_n(x)=(n-1)\cdot (1-x{)}^{n-2}$$

特别地，积分即可快速得到，某一个元素要取值得到至少$\tau$的概率为：$P(x\ge \tau )=(1-\tau {)}^{n-1}$。

3. 蒙特卡洛模拟

如果我们要对上述结论进行验证，我们可以使用蒙特卡洛模拟来对上述结论进行验证。

我们直接给出代码如下：

import numpy as np
from random import random
from matplotlib import pyplot as plt

def monte_carlo_simulate(n=5, N=10000):
    s = []
    for _ in range(N):
        while True:
            tmp = [random() for _ in range(n-1)]
            if sum(tmp) <= 1:
                s.append(1 - sum(tmp))
                break
    return s

def show_simulate(n=5, N=10000):
    x = np.linspace(0, 1, num=100)
    y = (n-1) * np.pow(1-x, n-2)
    s = monte_carlo_simulate(n=n, N=N)
    plt.figure(figsize=(15, 7))
    plt.hist(s, bins=100, range=[0, 1], density=True)
    plt.plot(x, y)
    plt.show()
    return

show_simulate(n=5, N=10000)

可以看到：

进一步的，如果我们要快速地获取符合$x$分布的随机数，也只需要做如下构造即可：

import math
from random import random

def random(k=5):
    x = random()
    z = 1 - math.pow(z, 1/(k-1))
    return z

3. 离散情况延拓

下面，我们稍微拓展一下，如果$x$不连续，是离散的情况下，那么结果如何。

我们修改问题为：

假设我们有$k$个均匀分布的离散项，取值范围为$0\sim N$，且满足限制条件$x_1+x_2+...x_k=N$，那么其中$x_1$不小于$M$的概率是多少。

这个问题其实感觉比上述连续的情况还要简单一些，我们只需要将其视为排列组合问题即可进行解答，即视为分堆问题，将$N$个元素分到$k$个堆当中，令其中某一个堆中的元素个数不少于$M$。

1. 正整数的情况

首先，我们来考察一下最简单的情况，即要求每个堆中至少有一个元素，且$N,M$均为有限整数。

此时，我们要做的事实上就是在$N$个元素所构成的$N-1$个间隔位置当中放入$k-1$个挡板。不妨设要求的堆就是第一个堆，即第一个堆的元素个数不少于$M$个，此时，符合要求的摆放方式必然要求第一个挡板的出现位置必须要在第$M$个间隔或者之后。

因此，我们可以得到答案为：

$$P(x_1\ge M)=\frac{C_{N-M}^{k-1}}{C_{N-1}^{k-1}}$$

2. 整数的情况

对于整数的情况，其结果本质上是与之前正数的情况完全相同的，唯一的区别在于，挡板可以相邻，因此，我们事实上就是将$N$个元素与$k-1$个挡板合在一起进行排列组合。

同样的，我们要求第一个堆当中至少包含$M$个元素，此时我们可以仿上求得答案为：

$$P(x_1\ge M)=\frac{C_{N-M+k-1}^{k-1}}{C_{N+k-1}^{k-1}}$$

3. $N\to \infty$的情况

最后，我们考察一下$N\to \infty$的情况，令$N\to \infty$，且有$\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{M}{N}=\tau$。

此时，上述两个式子的解收敛为：

$$\underset{N\to \infty }{\lim }P(x_1\ge M)=(1-\tau {)}^{k-1}$$

此结果就是之前讨论的连续情况下的解。

4. 误区分析

这里，其实有一个坑要注意一下，就是如果你在模拟的时候这么写作函数：

def simulate(n=5, N=10000):
    s = []
    for _ in range(N):
        t = 1.0
        for _ in range(n-1):
            t -= t * random()
        s.append(t)
    return s

此时，采样得到的$n$个点事实上也满足$\sum _{i=1}^n{x}_i=1$，但是如果我们将$x_i$的分布画出来的话，可以注意到，$x_i$的分布与$i$的取值有关，且$i$越大，采样得到的$x_i$的均值越小。

我们以$n=5$为例，可以绘制得到曲线如下：

这乍看有点迷糊，其实仔细想想的话你会注意到这里的$x_i$的取值概率是与开始的题目描述不一致的，原本要求的概率应该是：

$$P(x_i=x|\sum _{i=1}^n{x}_i=1)$$

而这里模拟的概率事实上是：

$$P(x_i=x|\sum _{j=1}^{i-1}{x}_j\le 1-x)$$

因此就会出现两种模拟的结果不一致的情况。

而同样的，如果有读者感兴趣的话，后者事实上我们也可以很轻松地求出其概率密度函数为：

$$f_n(x_i=x)=\frac{g_{i-1}(x)}{g_i(0)}=i\times (1-x{)}^{i-1}$$

需要注意的是，这里的$i<n$，当$i=n$时，此时其分布与$i=n-1$时相同，多多少少有那么一点点特殊。