0、论文背景

本文在DE的基础上，提出了一种新的差分进化(DE)算法JADE，通过实现一种新的突变策略DE/current-to-pbest，采用可选的外部存档和参数的自适应更新，来提高优化性能。上述两种操作使种群多样化，并提高了收敛性能。

Zhang J, Sanderson A C. JADE: adaptive differential evolution with optional external archive[J]. IEEE Transactions on evolutionary computation, 2009, 13(5): 945-958.

1、JADE

JADE是在DE的基础上提出来的，有关DE，参见博客：DE。JADE采用了DE/current-to-pbest的突变策略，F和CR的值采用外部存档的方式动态自适应更新，JADE算法流程图如下所示。

1.1 DE/current-to-pbest

DE/current-to-pbest是在DE/current-to-best/1的基础上改进得到的，DE/current-to-best/1：

$\mathbf{v}_{i, g}=\mathbf{x}_{i, g}+F_{i} \cdot\left(\mathbf{x}_{\text {best }, g}-\mathbf{x}_{i, g}\right)+F_{i} \cdot\left(\mathbf{x}_{r 1, g}-\mathbf{x}_{r 2, g}\right)$

但是它有个问题，会出现收敛过早的情况。为了解决这个问题，为了增加突变后种群的多样性，提出了DE/current-to-pbest：

$\mathbf{v}_{i, g}=\mathbf{x}_{i, g}+F_{i}\left(\mathbf{x}_{\text {best }, g}^{p}-\mathbf{x}_{i, g}\right)+F_{i}\left(\mathbf{x}_{r 1, g}-\tilde{\mathbf{x}}_{r 2, g}\right)$

其中 $x_{\text {best, } g}^{p}$ 被随机选择为当前种群中前100p%的个体之一，p∈(0,1]，p决定了突变策略的贪婪性，p越大，突变后种群的多样性越高。而 $\tilde{\mathbf{x}}_{r 2, g}$ 是从P∪A中随机选择的，引入A也是想提高突变后种群的多样性。

A为存档的次等解的集合，P为当前的总体。在迭代过程中，在选择过程中失败的种群将被添加到A中。如果存档大小超过了一定的阈值(NP)，那么将从存档中随机删除一些解决方案，以保持A(存档)大小在NP。

1.2 F和CR的自适应

CR采用正太分布随机数， $\mu_{C R}$ 的初始值设置为0.5：

$C R_{i}=\operatorname{randn}_{i}\left(\mu_{C R}, 0.1\right)$

$\mu_{C R}$ 的更新为：

$\mu_{C R}=(1-c) \cdot \mu_{C R}+c \cdot \operatorname{mean}_{A}\left(S_{C R}\right)$

其中c是0和1之间的正数，c控制参数自适应的速率。meanA(·)是通常的算术平均值。 $S_{CR}$ 是每次选择成功后的种群的CR值集合。

F采用柯西分布随机数，因为与正态分布相比，柯西分布更有利于使突变因子多样化，从而避免了贪婪突变策略中经常发生的过早收敛， $\mu _{F}$ 的初始值设置为0.5:

$\mu_{F}=(1-c) \cdot \mu_{F}+c \cdot \operatorname{mean}_{L}\left(S_{F}\right)$

meanL(·)是Lehmer的平均值：

$\operatorname{mean}_{L}\left(S_{F}\right)=\frac{\sum_{F \in S_{F}} F^{2}}{\sum_{F \in S_{F}} F}$

Lehmer均值有助于传播更大的突变因子，而F越大，有助于增加种群多样性，防止过早收敛。

2、算法的复现和简单实验

有关SaNSDE，请参见博客：SaNSDE。

JADE复现代码：

function [globalBest, globalBestFitness, FitnessHistory] = JADE(popsize, maxIteration,dim, LB, UB, Fun)

Sol(popsize, dim) = 0;    % 种群的初始化和计算适应度值
Fitness(popsize) = 0;
for i = 1 : popsize
    Sol(i, :) = LB + (UB - LB) .* rand(1, dim);
    Fitness(i) = Fun(Sol(i, :));
end

[fbest, bestIndex] = min(Fitness);    % 获得全局最优值以及对应的种群向量
globalBest = Sol(bestIndex, :); 
globalBestFitness = fbest; 
muCR = 0.5;    % 相关变量的初始化
muF = 0.5;
A = [];
p = 0.05;
c = 0.2;

for time = 1 : maxIteration
    SF = [];
    SCR = [];
    for i = 1 : popsize

        CR = normrnd(muCR, 0.1);    % 正太随机数
        %pd = makedist('tLocationScale', 'mu', muF, 'sigma', 0.1, 'nu', 1);
        % F = random(pd, 1, 1);    
        F = Cauchy_rand(muF, 0.1);    % 柯西随机数

        [~, sortIndex] = sort(Fitness);    % 随机选择前 popsize * p 对应的 xPBest
        sortSol = Sol(sortIndex, :);
        xPBest = sortSol(randi(p * popsize), :);

        r1 = randi(popsize);
        while r1 == i
            r1 = randi(popsize);
        end
        SolA = [Sol; A];
        r2 = randi(size(SolA, 1));
        while r2 == r1 || r2 == i
            r2 = randi(size(SolA, 1));
        end
        mutantPos = Sol(i, :) + F * (xPBest - Sol(i, :)) + F * (Sol(r1, :) - SolA(r2, :));    % 突变

        jj = randi(dim);  % 选择至少一维发生交叉
        for d = 1:dim
            if rand() < CR || d == jj
                crossoverPos(d) = mutantPos(d);
            else
                crossoverPos(d) = Sol(i,d);
            end
        end
        
        crossoverPos(crossoverPos>UB) = UB(crossoverPos>UB);     % 检查是否越界
        crossoverPos(crossoverPos<LB) = LB(crossoverPos<LB);
        
        evalNewPos = Fun(crossoverPos);    % 将突变和交叉后的变量重新评估
        if evalNewPos < Fitness(i)    % 小于原有值就更新
            A = [A; Sol(i,:)];
            if size(A, 1) > popsize
                A(randi(size(A, 1)), :) = [];    % 保持A的数目不超过popsize
            end
            SCR = [SCR; CR];
            SF = [SF; F];
            Sol(i,:) = crossoverPos;
            Fitness(i) = evalNewPos;
        end
    end

    muCR = (1 - c) * muCR + c * mean(SCR);
    muF = (1 - c) * muF + c * (sum(SF .* SF) / sum(SF));

    [fbest, bestIndex] = min(Fitness);
    globalBest = Sol(bestIndex,:);
    globalBestFitness = fbest;
    
    FitnessHistory(time) = fbest;    % 存储每次迭代的最优值
end
end

clc;clear;clearvars;
addpath('CEC2008\');
global initial_flag
initial_flag = 0;

% 初始化变量维度,种群数,最大迭代次数,搜索区间,F,CR
dim = 30;
popsize = 100;
maxIteration = 1000;
LB = -100 * ones(1, dim);
UB = 100 * ones(1, dim);
F = 1;
CR = 0.9;

[globalBest, globalBestFitness, FitnessHistory] = DE(popsize, maxIteration,dim, LB, UB, F, CR,  @(x)benchmark_func(x,1));
[globalBest1, globalBestFitness1, FitnessHistory1] = JADE(popsize, maxIteration,dim, LB, UB, @(x)benchmark_func(x,1));
[globalBest2, globalBestFitness2, FitnessHistory2] = SaNSDE(popsize, maxIteration,dim, LB, UB, @(x)benchmark_func(x,1));
plot(FitnessHistory);
hold on;
plot(FitnessHistory1);
hold on;
plot(FitnessHistory2);
legend('DE','JADE','SaNSDE','Location', 'northeast');

函数1测试结果：