信号的变换

news2024/12/25 13:48:37

信号的变换

在实践中，缩放和时间平移是遇到的两个最重要的信号变换。缩放改变了振幅轴上的因变量的值，而时间平移则影响了时间轴上的自变量的值。

加法

对于两个离散时间信号的加法，例如 $x [n]$ 和 $y [n]$ ，逐样本相加这两个信号的每个值：

$\quad \text{对所有} \ n \ 适用$

例如：

$z [0] = x [0] + y [0]$

$z [1] = x [1] + y [1]$

以此类推。

乘法

对于乘法，像我们在加法中所做的那样，将两个信号逐样本相乘：
$\cdot y[n]$ 对于每一个 $n$ ，

例如：

$\cdot y[0]$

$\cdot y[1]$

...等等。

Tips：加法乘法最容易理解。

缩放

缩放意味着将信号的幅度乘以一个常数 $\alpha$ ，得到 $\alpha \cdot s[n]$ ，其中 $\alpha$ 可以是正数、负数、大于或小于1的数。例如，图1.13显示了信号 $s [n]$ 缩放了4倍（比较两个信号在y轴上的幅度）。需要注意的是，缩放时，整个信号都会被相同的值缩放，因此缩放与两个信号逐样本相乘不同。

图将s[n]放大四倍

接下来上难度：

时间平移

信号 $s [n]$ 可以向右或向左移动任意 $m$ 个单位。有两种方式来理解时间平移信号。

常规方法 - 平移信号

平移离散时间信号通常描述如下：

延迟： 对于 $s [n - m]$ ，时间平移会导致 $s [n]$ 延迟 $m$ 个时间单位。所以通过将 $s [n]$ 向右平移 $m$ 个单位来绘制 $s [n - 2]$ （图a）。

提前： 对于 $s [n + m]$ ，时间平移会导致 $s [n]$ 提前 $m$ 个时间单位。所以通过将 $s [n]$ 向左平移 $m$ 个单位来绘制 $s [n + 2]$ （图a）。

这很容易记住：将时间平移写作 $n - m$ 。向右平移 $s [n - m]$ ，向左平移 $s [n + m]$ 。

图：两种观察时间平移信号的方法

直观方法 - 平移坐标轴

在信号处理应用中，“此刻”是时间索引 0，我们希望将其作为信号生命的主要焦点，如图所示。从这个角度看：

延迟： 对于 $s [n - m]$ ， $n - m$ 显然意味着向过去移动 $m$ 个单位。因此，通过回溯 2 个单位并将其设为新的“此刻”，即时间索引 0，来绘制 $s [n - 2]$ （图b）。

提前： 对于 $s [n + m]$ ， $n + m$ 显然意味着向未来前进 $m$ 个单位。因此，通过向未来移动 2 个单位并将其设为新的“此刻”，即时间索引 0，来绘制 $s [n + 2]$ （图b）。

图 1.15：信号的过去、现在和未来

换句话说，只需观察时间轴本身。保持离散时间信号不变，但将时间索引 0 移动 $m$ 个单位到左侧，对应 $n - m$ ，并将 $m$ 个单位移动到右侧，对应 $n + m$ ，如图 b 所示。注意， $s [n + 2]$ 的索引 0 与 $s [n]$ 的索引 2 位于同一采样点，表示访问未来值。虽然这仅仅是观察过程的不同方式，但这是一种更简单、更直观的方法。这种方法对于卷积的理解会非常有用。

注释 1.2 时间平移信号的叠加

理解时间平移信号可以轻松分析看似复杂的方程式，例如：

$\sum_{m=-1}^{2} s[n-m]$

这基本上是将 $s [n - m]$ 在 $m = - 1, 0, 1, 2$ 的情况下叠加在一起。我们可以通过替换 $m$ 的值将其简化为更易识别的形式：

$r [n] = s [n + 1] + s [n] + s [n - 1] + s [n - 2]$

现在，我们可以轻松绘制 $s [n]$ 的时间平移版本，并将它们叠加在一起，找到最终的信号。例如，图显示了单位脉冲信号 $\delta[n]$ 及其时间平移版本。

图：计算 $\sum_{m=-1}^{2} s[n-m]$ 对于 $\delta[n]$

翻转或时间反转

当自变量 $n$ 被替换为 $- n$ 时，信号会围绕时间原点 $n = 0$ 反射或翻转，因为 $n = + 1$ 处的采样点会移到 $n = - 1$ 处， $n = - 5$ 处的采样点会移到 $n = + 5$ 处，依此类推。通过绘制 $s [- n]$ 和 $s [- n + 3]$ 来说明这一概念。

注意，由于时间轴 $- n$ 的翻转，向左或向右平移的规则也会变得相反。例如，从直观方法来看，时间轴 $n$ 被替换为 $- n$ 表示过去变成未来，因此， $s [- n + 3]$ 首先将信号围绕时间原点翻转，然后向左移动 3 个单位至过去，将其标记为新的“现在”（时间索引 0）。

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图 1.17：翻转和时间移位信号

循环移位

循环移位与信号的时间移位非常相似，不同之处在于只关注一个长度为 $N$ 的采样段进行循环移位，而常规时间移位的可用轴范围是从 $-\infty$ 到 $+\infty$ 。

如果一个信号 $s [n]$ 向右循环移位 $m$ 个单位，那么那些从长度为 $N$ 的段右侧“掉下去”的信号 $s [n]$ 的采样点会重新出现在段的起始位置。同样，如果 $s [n]$ 向左循环移位 $m$ 个单位，那么从长度为 $N$ 的段左侧“掉下去”的信号 $s [n]$ 的采样点会重新出现在段的末尾。就像视频游戏中的角色一样，它在屏幕的一端消失后会从另一端重新出现。图显示了一个向右循环移位的例子。

方法 1

由于循环移位是针对长度为 $N$ 的段进行的，因此移位是按模 $N$ 计算的，并表示为 $\mod N]$ ，其中 $\mod N$ 表示进行移位。

图：在游戏轴上吃豆人向右循环移位

信号 $\mod 8]$ 对每个样本右移1位，除了时间索引7的样本。这个样本不会移到索引8，而是从左侧回到索引0。
同样地，信号 $\mod 8]$ 对大多数样本左移3位，除了时间索引0、1和2的样本。它们不会移动到负时间索引，而是从右侧回到索引5、6和7。

图：信号 $\mod 8]$ 的循环移位

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方法 2

首先，观察图中的绿色虚线样本。请注意，信号 $s [n]$ 在两侧重复以使其成为周期性的，这样原始索引为 $n = 5$ , $6$ 和 $7$ 的样本会出现在索引 $n = 0$ 之前，而原始索引为 $n = 0$ 和 $1$ 的样本会出现在 $n = 7$ 之后。在这种情况下，循环移位就像常规移位一样。将上图的信号按1位右移，即 $s [n - 1]$ ，可以看到结果是图中间显示的 $\mod 8]$ 。