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什么是非线性规划问题

非线性规划问题仍是规划问题的一种，但是目标函数和约束条件不再是线性的，而是存在非线性的部分，如指数函数、对数函数、三角函数等。

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如何使用 MATLAB 解决非线性规划问题

常见的非线性规划问题通常类似于以下形式：

$$\begin{array}{c}\min f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+8\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\text{ s.t. }\{\begin{array}{c}{x}_1^2-x_2+x_3^2\ge 0\\ x_1+x_2^2+x_3^3\le 20\\ -x_1-x_2^2+2=0\\ x_2+2x_3^2=3\\ x_1,x_2,x_3\ge 0\end{array}\end{array}$$

其中，公式1为目标函数，公式2为约束条件。

对于非线性规划问题，MATLAB 提供了 fmincon 函数来解决，其基本语法为：

[x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

其中，fun 为目标函数，x0 为初始值，A 为线性不等式约束的系数矩阵，b 为线性不等式约束的右端项，Aeq 为线性等式约束的系数矩阵，beq 为线性等式约束的右端项，lb 为变量的下界，ub 为变量的上界，nonlcon 为非线性约束函数。

MATLAB 中的非线性规划问题的标准形式为：

$$\underset{x}{\min }f(x)\text{ such that }\{\begin{array}{c}c(x)\le 0,\\ ceq(x)=0,\\ A\cdot x\le b,\\ Aeq\cdot x=beq,\\ lb\le x\le ub\end{array}$$

其中，c(x) 为非线性不等式约束，ceq(x) 为非线性等式约束。

所以要使用 fmincon 函数，需要先将非线性规划问题转为标准形式：

$$\begin{array}{c}\min f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+8\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\text{ s.t. }\{\begin{array}{c}-x_1^2+x_2-x_3^2\le 0\\ x_1+x_2^2+x_3^3-20\le 0\\ x_1+x_2^2-2=0\\ x_2+2x_3^2-3=0\\ x_1,x_2,x_3\ge 0\end{array}\end{array}$$

这里没有线性约束条件，因此 A 和 b 为空矩阵。

接下来，将目标函数和非线性约束条件分别写成函数形式：

function f = objfun(x)
f = x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2 + 8;
end

function [c,ceq] = nonlcon(x)
c = [-x(1)^2 + x(2) - x(3)^2; x(1) + x(2)^2 + x(3)^3 - 20];
ceq = [x(1) + x(2)^2 - 2; x(2) + 2*x(3)^2 - 3];
end

将函数分别保存到 objfun.m 和 nonlcon.m 文件中。

最后，使用 fmincon 函数求解：

[x,fval] = fmincon(@objfun,[0 0 0],[],[],[],[],[0 0 0],[],@nonlcon)
% 或
[x,fval] = fmincon('objfun',[0 0 0],[],[],[],[],[0 0 0],[],'nonlcon')

通过修改 x0 的值，可以改变迭代过程，但是最终的解是相同的。

本题的解为：

x =
    0.5522    1.2033    0.9478

fval =
    10.6511