文章目录
- 点集
- 求导集
- 闭集
- 参考文献
点集
求导集
- 例1
E = { 1 / n + 1 / m : n , m ∈ N } 1. lim n → ∞ ( 1 / n + 1 / m ) = 1 / m 2. lim n , m → ∞ ( 1 / n + 1 / m ) = 0 3. E ′ = { 0 , 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , . . . . } E=\{1/n+1/m:n,m \in N\} \\1.\lim_{n \rightarrow \infty}(1/n+1/m)=1/m \\2.\lim_{n,m \rightarrow \infty}(1/n+1/m)=0 \\3.E'=\{0,1,1/2,1/3,....\} E={1/n+1/m:n,m∈N}1.n→∞lim(1/n+1/m)=1/m2.n,m→∞lim(1/n+1/m)=03.E′={0,1,1/2,1/3,....} - 例2
E = { ( m − n ) / ( m + n ) : m , n ∈ N } 1. ( m − n ) / ( m + n ) = 1 − 2 m n + 1 2. lim n → ∞ ( 1 − 2 m n + 1 ) = − 1 3. lim m → ∞ ( 1 − 2 m n + 1 ) = 1 4. lim n , m → ∞ ( 1 − 2 m n + 1 ) = lim n , m → ∞ ( 1 − 1 2 1 m n + 1 ) 1 m n + 1 < 1 = > − 1 < lim n , m → ∞ ( 1 − 1 2 1 m n + 1 ) < 1 E ′ = [ − 1 , 1 ] E=\{(\sqrt m-\sqrt n)/(\sqrt m +\sqrt n):m,n \in N\} \\1.(\sqrt m-\sqrt n)/(\sqrt m +\sqrt n)=1-\frac {2} {\sqrt {m \over n}+1} \\2.\lim_{n \rightarrow \infty }(1-\frac {2} {\sqrt {m \over n}+1})=-1 \\3.\lim_{m \rightarrow \infty }(1-\frac {2} {\sqrt {m \over n}+1})=1 \\4.\lim_{n,m \rightarrow \infty }(1-\frac {2} {\sqrt {m \over n}+1})=\lim_{n,m \rightarrow \infty }(1- \frac 1 2 \frac {1} {\sqrt {m \over n}+1}) \\\frac {1} {\sqrt {m \over n}+1} < 1=> \\-1 <\lim_{n,m \rightarrow \infty }(1- \frac 1 2 \frac {1} {\sqrt {m \over n}+1})<1 \\E'=[-1,1] E={(m−n)/(m+n):m,n∈N}1.(m−n)/(m+n)=1−nm+122.n→∞lim(1−nm+12)=−13.m→∞lim(1−nm+12)=14.n,m→∞lim(1−nm+12)=n,m→∞lim(1−21nm+11)nm+11<1=>−1<n,m→∞lim(1−21nm+11)<1E′=[−1,1] - 例3
E = { x n = s i n l n n : n ∈ N } E=\{x_n=sinlnn:n \in N\} E={xn=sinlnn:n∈N}
lim n → ∞ l n n = ∞ − 1 ≤ lim n → ∞ s i n l n n ≤ 1 E ′ = [ − 1 , 1 ] \lim_{n \rightarrow \infty}lnn=\infty \\-1\le \lim_{n \rightarrow \infty}sinlnn \le1 \\E'=[-1,1] n→∞limlnn=∞−1≤n→∞limsinlnn≤1E′=[−1,1]
闭集
E
⊂
R
n
,
E
⊃
E
′
=
>
E
为闭集
E \subset R^n,E \supset E'=>E为闭集
E⊂Rn,E⊃E′=>E为闭集
E
ˉ
=
E
∪
E
′
=
>
E
为闭包
\bar E=E \cup E'=>E为闭包
Eˉ=E∪E′=>E为闭包
A
⊂
B
,
A
ˉ
=
B
=
>
A
在
B
中稠密
,
A
是
B
的稠密子集
A \subset B,\bar A=B=>A在B中稠密,A是B的稠密子集
A⊂B,Aˉ=B=>A在B中稠密,A是B的稠密子集
下面内容由文心一言生成
在实变函数中，闭集是一个重要的概念，它与开集相对。以下是对实变函数中闭集的详细解释：
定义：
- 在实数集R（或更一般的度量空间、拓扑空间）中，闭集是指包含其所有极限点的集合。
- 换句话说，如果一个集合的所有极限点都属于该集合本身，则它是闭集。
性质：
- 闭集在并集、交集和补集运算下具有良好的性质。
- 任意多个闭集的交集仍然是闭集。
- 有限个闭集的并集也是闭集。
- 闭集的补集是开集（在实数集R中）。
例子：
- 在实数集R中，闭区间[a, b]是一个闭集，因为它包含了其所有边界点a和b，以及区间内的所有点。
- 单点集{x}也是一个闭集，因为它只包含一个点，该点自然是它自己的极限点。
- 空集∅也是一个闭集，因为它不包含任何点，所以也没有极限点需要包含。
与开集的关系：
- 开集和闭集是相对的。一个集合是开集当且仅当它的补集是闭集。
- 在实数集R中，开区间(a, b)是一个开集，而它的补集是闭集，由两个闭区间和两个单点集组成：(-∞, a] ∪ [b, +∞) ∪ {a} ∪ {b}（但通常我们只说它的补集包含(-∞, a]和[b, +∞)这两部分，因为单点集在实数轴上可视为闭集）。
闭包与闭集的关系：
- 任何一个集合S的闭包都是闭集。
- 闭包是包含S的最小闭集，即S的闭包是包含S的所有闭集中的最小者（在包含关系下）。
综上所述，闭集是实变函数中一个基本而重要的概念，它与开集、闭包等概念紧密相关，并在数学分析中发挥着重要作用。
在点集拓扑学中，对于实数集R（或更一般的度量空间、拓扑空间）中的一个点集E，E的闭包通常定义为E与E的所有极限点（或聚点）的并集，记作Ē或E∪E′。这里，E′表示E的导集，即E中所有聚点的集合。聚点的定义是：对于E中的点x，如果存在一个包含x的邻域U，使得U与E的交集（去掉x后）非空，则称x为E的聚点。
性质：闭包是包含原集合的最小闭集。即，对于任意集合E，其闭包Ē是包含E的所有闭集中最小的一个。 例子：考虑实数集R上的开区间(0,1)，其闭包是闭区间[0,1]，因为0和1是(0,1)的聚点。
参考文献
1.《实变函数解题指南》 周民强
2.《实变函数论》 周民强
