前面介绍过队列，队列是一种先进先出(FIFO)的数据结构，但有些情况下，操作的数据可能带有优先级，一般出队列时，可能需要优先级高的元素先出队列，该中场景下，使用队列显然不合适，比如：在手机上玩游戏的时候，如果有来电，那么系统应该优先处理打进来的电话；初中那会班主任排座位时可能会让成绩好的同学先挑座位。在这种情况下，数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象。这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue)。

JDK1.8中的 PriorityQueue 底层使用了堆这种数据结构，而堆实际就是在完全二叉树的基础上进行了一些调整。下面将详细介绍堆。

1. 堆

1.1 堆的概念

如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足：Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质： 1. 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值。 2. 堆总是一棵完全二叉树。

从堆的概念可知，堆是一棵完全二叉树，因此可以层序的规则采用顺序的方式来高效存储，而对于非完全二叉树，则不适合使用顺序方式进行存储，因为为了能够还原二叉树，空间中必须要存储空节点，就会导致空间利用率比较低。将元素存储到数组中后，假设 i 为节点在数组中的下标，则有：如果 i 为0，则 i 表示的节点为根节点，否则 i 节点的双亲节点为 (i - 1)/2 如果 2 * i + 1 小于节点个数，则节点i的左孩子下标为 2 * i + 1 ，否则没有左孩子如果 2 * i + 2 小于节点个数，则节点i的右孩子下标为 2 * i + 2 ，否则没有右孩子

1.2 堆的创建

堆是存储在一个一维数组中的，那么怎么用通过一个数组，让其变成一个堆呢？先简单介绍一下向下调整形成大根堆的思路：由于输入的数组是随机的，其对应的二叉树，也并不总是父亲节点的值大于孩子节点，所以我们要做的就是调整位置，让父亲节点的值与左右孩子节点的最大值做比较，小了，就与孩子节点交换位置，而大了，不做改变，从而让这个二叉树变成大根堆。

1.2.1 堆向下调整

public class TextHeap {
    public int[] elem;
    public int usedSized;

    public TextHeap() {
        this.elem = new int[10];
    }
    
    public void initElem(int[] arr){
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            elem[i] = arr[i];
            usedSized++;
        }
    }

    /*
    //创建大根堆
     */
    public void createHeap(){
        //找到这个完全二叉树中，最后一个父亲节点的下标：
        //最后一个节点的父亲节点，也是该二叉树的最后一个父亲节点，以此开始
        for (int parent = (usedSized - 1 - 1 )/ 2;  parent >= 0 ; parent--) {
            //使用 usedSize 作为向下调整的最大边界
            shiftDown(parent,usedSized);
        }
    }

    private void shiftDown(int parent,int len){
        //最起码有左孩子
        int child = 2 * parent + 1;

        // 可能需要多次向下调整：
        while(child < len){
            //如果有右孩子时，得让 child 这个下标对应左右孩子最大值的下标
            if(child + 1 < len && elem[child] < elem[child + 1]){
                child++;
            }

            if(elem[child] > elem[parent]){
                int temp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = temp;
                parent = child;
                child = 2 * parent + 1;
            }else{
                break;
            }
        }
    }
}

1.3 堆向下调整创建堆的时间复杂度

按照最坏的情况来看，即创建一棵高度为 h 的满二叉树的话，这样的堆的时间复杂度该如何计算呢？

高度为 h ，那么最后一层就是第 h 层，该层的节点总数为 $\text{[math]}$ ，这一层都是叶子节点，并不需要向下调整。而倒数第二层，即 h - 1 层，该层的节点总数为 $\text{[math]}$ ，而这里的每一个节点都需要向下调整 1 次。以此类推到第一层。

$\text{[math]}$ ①

$\text{[math]}$ ②

由② - ① 得：

$\text{[math]}$

化简得：

$\text{[math]}$

又因为总节点数 n 满足：

$\text{[math]}$

所以有

$\text{[math]}$

所以时间复杂度为

$\text{[math]}$

1.4 堆向上调整创建堆的时间复杂度

$\text{[math]}$ ①

$\text{[math]}$ ②

② - ① 得

$\text{[math]}$

化简得：

$\text{[math]}$

最后：

$\text{[math]}$

因此时间复杂度为：

$\text{[math]}$

1.5 堆的插入

将要插入的元素放在堆的最后位置，向上调整，时间复杂度为二叉树的高度，只需一路向上，跟父亲节点比较交换即可。

   private void shiftUp(int child){
        int parent = (child - 1)/2;
        while(child > 0){
            if(elem[child] > elem[parent]){
                int temp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = temp;
                child = parent;
                parent = (child - 1)/2;
            }else{
                break;
            }
        }
    }

    //堆的插入
    public void offer(int val){
        if(isFull()){
            //满了就扩容
            elem = Arrays.copyOf(elem,elem.length+5);
        }
        elem[usedSized++] = val;
        shiftUp(usedSized - 1);
    }

    private boolean isFull(){
        return usedSized == elem.length;
    }

1.6 堆的删除

堆的删除，只能删除根节点元素。删除的思路：把根节点元素与堆中最后一个元素交换，usedSize--，同时向下调整。

    //堆的删除
    public void pop(){
        if(isEmpty()){
            return;
        }
        elem[0] = elem[usedSized - 1];
        usedSized--;
        //只需从0下标的这个父亲节点去向下调整就可以了
        shiftDown(0,usedSized);


    }
    private boolean isEmpty(){
        return usedSized == 0;
    }

1.7 堆排序

堆排序：将存储堆的数组里的元素，从小到大或从大到小排序

从小到大，建大堆

public class Text{    
public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1,4,6,235,15,75,123,61,70,13};
        TextHeap heap = new TextHeap();
        heap.initElem(arr);
        heap.createHeap();
        heap.heapSort();
        System.out.println();
    }
}

public class TextHeap{
........
//省略的部分可往前文查找
    private void swap(int[] arr,int i ,int j){
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
    }

    //堆排序
    public void heapSort(){
        int end = usedSized - 1;
        while(end > 0 ){
            swap(elem,0,end);
            shiftDown(0,end);
            end--;
        }
    }
}

时间复杂度O(nlogn)，空间复杂度O(1)。

而从大到小，则建小堆。这里就不再赘述。

2. 优先级队列(Priority Queue)

2.1 优先级队列的性质

Java集合框架中提供了 PriorityQueue 和 PriorityBlockingQueue 两种类型的优先级队列，PriorityQueue是线程不安全的，PriorityBlockingQueue是线程安全的，本文主要介绍PriorityQueue。

关于PriorityQueue的使用要注意： 1. 使用时必须导入PriorityQueue所在的包，即：

import java.util.PriorityQueue;

2. PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出 ClassCastException异常

比如以下代码，priorityQueue中存放的是Student的对象，此时这些对象并不能比较大小：

    public static void main(String[] args) {
        Queue<Student> priorityQueue = new PriorityQueue<>();
        priorityQueue.offer(new Student("huahua",15));
        priorityQueue.offer(new Student("liu",34));
        System.out.println(priorityQueue.poll());
    }

因此报错：

3. 不能插入null对象，否则会抛出NullPointerException

4. 没有容量限制，可以插入任意多个元素，其内部可以自动扩容 5. 插入和删除元素的时间复杂度为 $\text{[math]}$ ，也就是二叉树的高度 6. PriorityQueue底层使用了堆数据结构 7. PriorityQueue默认情况下是小堆---即每次获取到的元素都是最小的元素

    //检验一下 PriorityQueue 真的默认为小根堆？
    public static void main(String[] args) {
        Queue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>();
        priorityQueue.offer(1);
        priorityQueue.offer(88);
        System.out.println(priorityQueue.poll());
    }

2.2 top-k 问题

设计一个算法，找出数组中最小或最大的前k个数。以任意顺序返回这k个数均可。

2.2.1 排序思路——效率较低

将这个数组建成小根堆，拿这小根堆的前10个元素，但这种方法效率低下。

    //top-k问题
    //排序思路
    public int[] topK1(int[] arr,int k){
        int[] ret = new int[k];
        if(arr == null || k == 0){
            return ret;
        }
        Queue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>();
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            priorityQueue.offer(arr[i]);
        }
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            ret[i] = priorityQueue.poll();
        }
        return ret;
    }

2.2.2 善于利用堆排序解决topk问题

如果是输出数组中前k个最大的元素，其实只要创建容量为k的优先队列即可，而不是像3.2.1那样，创建一个容量为arr.length的优先队列。

此时容量为k的优先队列默认为小根堆，让数组的前k个元素放入优先级队列中，之后让数组从第k+1个元素往后遍历，每一个都与小根堆的堆顶元素做比较。由于是小根堆，堆顶元素就是k个元素中，最小的一个，与数组第k+1个元素及以后的元素作比较，挨个置换比根节点大的元素，那么等数组遍历完之后，小根堆里存储的元素都比数组中其余元素要大，不然的话，还是会被置换出来的。如此一来，小根堆存储的就是数组中前k个最大元素。

    public static int[] topK2(int[] arr,int k){
        int[] ret = new int[k];
        if(arr == null || k == 0){
            return ret;
        }
        Queue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(k);
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            priorityQueue.offer(arr[i]);
        }
        for (int i = k; i < arr.length; i++) {
            if(arr[i] > priorityQueue.peek()){
                priorityQueue.poll();
                priorityQueue.offer(arr[i]);
            }
        }
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            ret[i] = priorityQueue.poll();
        }
        return ret;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1,6,43,2,7,88,67,17,29,257,35};
        int[] ret = topK2(arr,3);
        System.out.println(Arrays.toString(ret));
    }

输出：

[67, 88, 257]

问题换一换，找第k大的元素？

其实就是堆顶元素啦~~

那如果要求的是前k个最小元素呢？这时候就要用到大根堆，可优先级队列默认是小根堆，那该如何在优先级队列中创建大根堆呢？

2.3 优先级队列构造方法

此处只是列出了PriorityQueue中常见的几种构造方式。

构造器	功能介绍
PriorityQueue()	创建一个空的优先级队列，默认容量是11
PriorityQueue(int initialCapacity)	创建一个初始容量为initialCapacity的优先级队列，注意： initialCapacity不能小于1，否则会抛IllegalArgumentException异常
PriorityQueue(int initialCapacity, Comparator<? super E> comparator)	创建一个初始容量为initialCapacity的优先级队列，并且有比较器
PriorityQueue(Collection<? extends E> c)	用一个集合来创建优先级队列

    public static void main(String[] args) {
        // 创建一个空的优先级队列，底层默认容量是11
        Queue<Integer> q1 = new PriorityQueue<>();

        // 创建一个空的优先级队列，底层的容量为 100
        Queue<Integer> q2 = new PriorityQueue<>(100);

        // 用ArrayList对象来构造一个优先级队列的对象
        // q3中已经包含了三个元素
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        list.add(1);
        list.add(45);
        list.add(23);
        Queue<Integer> q3 = new PriorityQueue<>(list);
        q3.offer(9);
        System.out.println(q3.size());
    }

输出：

2.4 对象的比较方式

优先级队列在插入元素时有个要求：插入的元素不能是null或者元素之间必须要能够进行比较，为了简单起见，我们只是插入了Integer类型，那优先级队列中能否插入自定义类型对象呢？

优先级队列底层使用堆，而向堆中插入元素时，为了满足堆的性质，必须要进行元素的比较，而在优先级队列的性质那一小节中，优先级队列插入的是引用类型，是没有办法直接进行比较的，因此抛出异常。因此在这里引出一个问题，对象的比较方式，以下介绍三种方法：

2.4.1 equals方法

   class Student{
    public String name;
    public int age;

    public Student(String name, int age) {
        this.name = name;
        this.age = age;
    }
}
 public static void main(String[] args) {
        Student student1 = new Student("shanshan",15);
        Student student2 = new Student("shanshan",15);
        System.out.println(student1==student2);
        System.out.println(student1.equals(student2));
    }

输出：

false

==比较的是地址，输出是false；而当我们一开始直接就用equals时，返回的依旧是false。这是因为Student类中并无equals方法，而所有类都是Object类的子类，所以调用的就是Object类的equals方法：

我们发现，此处的equals方法也等同于==，比较的是引用变量的地址。

但是此处，我们需要比较的是对象中的内容，那该如何处理呢？基于此，我们可以覆写基类的equals方法。（可右击自动生成）

class Student{
    public String name;
    public int age;

    public Student(String name, int age) {
        this.name = name;
        this.age = age;
    }

    @Override
    public boolean equals(Object o) {
        if (this == o) return true;
        if (o == null || getClass() != o.getClass()) return false;
        Student student = (Student) o;
        return age == student.age && Objects.equals(name, student.name);
    }

    @Override
    public int hashCode() {
        return Objects.hash(name, age);
    }
}

输出：

false

true

覆写基类equal的方式虽然可以比较，但缺陷是：equal只能按照相等进行比较，不能按照大于、小于的方式进行比较。

因此，优先级队列并不采用equals方法。

2.4.2 Compareble接口

Comparble是JDK提供的泛型的比较接口类，源码实现具体如下：

public interface Comparable<T> {

    public int compareTo(T o);
}

对用用户自定义类型，如果要想按照大于、小于的方式进行比较时：在定义类时，实现Comparble接口即可，然后在类中重写compareTo方法，举例如下：

class Student implements Comparable<Student>{

......

@Override
    public int compareTo(Student o) {
        return this.age - o.age;
    }
}

但这样compareTo就只能比较年龄了，那要是想比较学生的成绩或是其他，该怎么办呢？

2.4.2 基于比较器比较

Comparator部分源代码：

public interface Comparator<T> {
    int compare(T o1, T o2);

......
}

按照比较器方式进行比较，具体步骤如下：用户自定义比较器类，实现Comparator接口并且重写Comparator中的compare方法：

//姓名比较器
class nameComparator implements Comparator<Student>{
    @Override
    public int compare(Student o1, Student o2) {
        return o1.name.compareTo(o2.name);
    }
}

//年龄比较器
class AgeComparator implements Comparator<Student>{
    @Override
    public int compare(Student o1, Student o2) {
        return o1.age - o2.age;
    }
}

上面的compareTo方法中，因为name是String类的对象，可以调用String中的compareTo方法，这里比较的是两个字符串的大小。

NameComparator nameComparator = new NameComparator();
System.out.println(nameComparator.compare(student1,student2));

2.5 优先级队列的比较方式

集合框架中的PriorityQueue底层使用堆结构，因此其内部的元素必须要能够比大小，PriorityQueue采用了： Comparble和Comparator两种方式。 1. Comparble是默认的内部比较方式，如果用户插入自定义类型对象时，该类对象必须要实现Comparble接口，并覆写compareTo方法 2. 用户也可以选择使用比较器对象，如果用户插入自定义类型对象时，必须要提供一个比较器类，让该类实现 Comparator接口并覆写compare方法。

继续用上面Student类的例子，来演示如何将自定义类型对象插入优先级队列，以及如何创建大根堆：

Comparble接口：

class Student implements Comparable<Student>{
    public String name;
    public int age;

    public Student(String name, int age) {
        this.name = name;
        this.age = age;
    }


    //为创建大根堆
    @Override
    public int compareTo(Student o) {
        return o.age - this.age;
    }
}

    public static void main(String[] args) {
        Student student1 = new Student("shansan",10);
        Student student2 = new Student("shanan",15);
        PriorityQueue<Student> priorityQueue = new PriorityQueue<>();
        priorityQueue.offer(student1);
        priorityQueue.offer(student2);

        System.out.println("sssssssss");
    }

Comparator接口：

    class InCmp implements Comparator<Integer>{
        @Override
        public int compare(Integer o1, Integer o2) {
            //调用了Integer这个类中的compareTo方法
            return o2.compareTo(o1);
            //return o1 - o2;
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        InCmp inCmp = new InCmp();
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(inCmp);
        priorityQueue.offer(5);
        priorityQueue.offer(1);
        priorityQueue.offer(98);
        priorityQueue.offer(23);
        priorityQueue.offer(51);
        System.out.println("2222222222222222222");
    }

还可以使用匿名内部类的方法写：

        //一个实现了Comparator接口的匿名内部类
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue1 = new PriorityQueue<>(new Comparator<Integer>() {
            @Override
            public int compare(Integer o1, Integer o2) {
                //小根堆
                return o1.compareTo(o2);
            }
        });