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前言
一. 前缀和算法的介绍
二、前缀和例题
2.1 【模版】前缀和
2.2 【模板】二维前缀和
2.3 寻找数组的中间下标
2.4 除自身以外数组的乘积
2.5 和为k的子数组
2.6 和可被k整除的子数组
2.7 连续数组
2.8 矩阵区域和
总结
前言
本篇详细介绍了前缀和算法的使用，让使用者了解前缀和，而不是仅仅停留在表面， 文章可能出现错误，如有请在评论区指正，让我们一起交流，共同进步！
一. 前缀和算法的介绍
前缀和算法是一种用空间换时间的算法，他常常用于解决某些题目或者作为某些高级算法的组成部分。
例如：让你求某个矩阵（一维）的子矩阵的最大值，如果使用暴力解法它的时间复杂度将会是O(n^2) ，但如果使用该算法就可以使其时间复杂度降低一个维度也就是O(N).
前缀和 是从 nums 数组中的第 0 位置开始累加，到第 𝑖位置的累加结果，我们常把这个结果保存到数组 Sum 中，记为 Sum[i]。
前缀和算法的本质是一个简单动态规划
接下来我们使用一些例题来介绍一下
二、前缀和例题
2.1 【模版】前缀和
牛客网—【模版】前缀和
#include <iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main() {
//1.读入数据
int n ,q;
cin>>n>>q;
vector<int> arr(n+1);
for(int i = 1;i<=n;i++) cin>>arr[i];
//2. 预处理出来个前缀和数组
vector<long long> dp(n+1); //防止溢出
for(int i = 1;i<=n;i++) dp[i] = dp[i-1]+arr[i];
//3.使用前缀和数组
int l = 0, r = 0;
while(q--)
{
cin>>l>>r;
cout<<dp[r]-dp[l-1]<<endl;
}
return 0;
}2.2 【模板】二维前缀和
牛客网—【模版】二维前缀和
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
int n,m,q;
cin>>n>>m>>q;
vector<vector<int>> arr(n+1,vector<int>(m+1));
for(int i = 1;i<=n;i++)
{
for(int j = 1;j<=m;j++)
{
cin>>arr[i][j];
}
}
vector<vector<long long>> dp(n+1,vector<long long>(m+1));
for(int i = 1;i<=n;i++)
{
for(int j = 1;j<=m;j++)
{
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] + arr[i][j] - dp[i-1][j-1];
}
}
int x1 = 0,y1 = 0,x2 = 0 ,y2 = 0;
while(q--)
{
cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
cout<<dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y1-1]<<endl;
}
return 0;
}2.3 寻找数组的中间下标
724. 寻找数组的中心下标 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
int pivotIndex(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
vector<int> f(n), g(n);
//1. 预处理前缀和数组和后缀和数组
for(int i = 1;i<n;i++)
f[i] = f[i-1] + nums[i-1];
for(int i = n-2;i>=0;i--)
g[i] = g[i+1] + nums[i+1];
//2. 使用
for(int i = 0;i<n;i++)
if(f[i] == g[i])
return i;
return -1;
}
};2.4 除自身以外数组的乘积
238. 除自身以外数组的乘积 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
//细节处理
vector<int> f(n,1), g(n,1);
//前缀和和后缀和
for(int i = 1;i<n;i++)
f[i] = f[i-1]*nums[i-1];
for(int i = n-2;i>=0;i--)
g[i] = g[i+1]*nums[i+1];
//使用
vector<int> ret(n);
for(int i = 0;i<n;i++)
ret[i] = f[i] * g[i];
return ret;
}
};2.5 和为k的子数组
560. 和为 K 的子数组 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {
unordered_map<int,int> hash; //统计前缀和出现的次数
hash[0] = 1;
int sum = 0, ret = 0;
for(auto&x : nums)
{
sum+=x; //计算当前位置的前缀和
if(hash.count(sum-k)) ret+=hash[sum-k]; //统计个数
hash[sum]++;
}
return ret;
}
};2.6 和可被k整除的子数组
974. 和可被 K 整除的子数组 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {
unordered_map<int,int> hash;
hash[0 % k] = 1; //0 这个数的余数
int sum = 0, ret = 0;
for(auto& x : nums)
{
sum+=x; //算出当前位置的前缀和
if(hash.count((sum%k+k)%k)) ret+=hash[(sum%k+k)%k]; //修正后的余数+统计结果
hash[(sum%k+k)%k]++;
}
return ret;
}
};2.7 连续数组
525. 连续数组 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
int findMaxLength(vector<int>& nums) {
unordered_map<int,int> hash;
hash[0] = -1; //默认有一个前缀和为0的情况
int sum = 0, ret = 0;
for(int i = 0;i<nums.size();i++)
{
sum+=nums[i] == 0 ? -1 : 1; //计算当前位置的前缀和
if(hash.count(sum)) ret = max(ret,i - hash[sum]);
else hash[sum] = i;
}
return ret;
}
};2.8 矩阵区域和
1314. 矩阵区域和 - 力扣（LeetCode）
class Solution {
public:
vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k) {
int m = mat.size(), n = mat[0].size();
vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));
for(int i = 1;i<=m;i++)
for(int j = 1;j<=n;j++)
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1] + mat[i-1][j-1];
vector<vector<int>> answer(m,vector<int>(n));
for(int i = 0;i<m;i++)
for(int j = 0;j<n;j++)
{
int x1 = max(0,i-k)+1;
int y1 = max(0,j-k)+1;
int x2 = min(m-1,i+k)+1;
int y2 = min(n-1,j+k)+1;
answer[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y1-1];
}
return answer;
}
};总结
✨✨✨各位读友，本篇分享到内容是否更好的让你理解前缀和算法，如果对你有帮助给个👍赞鼓励一下吧！！
🎉🎉🎉世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人。
感谢每一位一起走到这的伙伴，我们可以一起交流进步！！！一起加油吧！！
