一维差分

什么是差分

前缀和或许你已经了解了，差分其实就是前缀和的逆运算。

假设 a1 到 an 为 b1到 bn 的前缀和。

那么 b1 到 bn，分别就是 a1 到 an 的 差分。

差分的每一项等于 原序列对应项 减去 前一项。

构造差分数组

构造差分数组有两种方式，第一种是利用下列递推公式遍历一遍数组。

其中 数组 a 为 原数组，数组 b 为要构造的差分数组。

这里跟前缀和那里一样，i 不会 取到 0，数组前都会留一个空位，从1开始存储。

第二种构造方式我们一会 会说到。

差分数组的用处

差分数组可以快速 使一个区间内加上一个数。

我们来看下面的例子，还是假设 a为原序列，数组b 为 a 的差分数组。

假设我们的目标是 3 到 5 这个区间内所有数字都加上 c。

有了差分数组后，我们可以这样做。

首先给 b3 加c。

此时我们如果求 数组b 的新前缀和数组，如果覆盖数组a，那么 a3 到 an都会 加上 c。（这个想法很关键）

由于我们的目标是 a3 到 a5 加上 c。

所以需要这样做。

给 b6 减去c。

这个操作之后，当我们求 数组b 的前缀和数组的时候，a6 到 an 的值都会减去 c。

由此我们便得出了一个公式。

如果我们需要在区间 [ l , r ] 上加一个数 c。

那么我们只需要操作差分数组就可以了，公式如下：

实战演练

题目

输入一个长度为 $n$ 的整数序列。

接下来输入 $m$ 个操作，每个操作包含三个整数 $l,r,c$，表示将序列中 $[l,r]$ 之间的每个数加上 $c$。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

第二行包含 $n$ 个整数，表示整数序列。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $l，r，c$，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 $n$ 个整数，表示最终序列。

数据范围

$1\le n,m\le 100000$,
$1\le l\le r\le n$,
$-1000\le c\le 1000$,
$-1000\le 整数序列中元素的值\le 1000$

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

准备阶段：

其中 数组a 用于存储题目当中的输入数据，数组b 为差分 数组。

输入环节：

接下来需要构造 差分数组。

还记得刚才的那个区间 +c 的公式吗？我们先把这个行为写成一个函数。

第二种构造差分数组的思路是 假设刚开始的差分数组都是 0，然后 利用这个 addToRange
将数据加到 差分数组中。

当然也可以用之前的第一种方法。

在构造完差分数组后，接下来该处理 m 次询问了。

对于每次询问，输入一个区间 和 区间所加的值。

接着套函数 就可以了。

最后 我们只需要 求 数组 b 对应的前缀和数组。

这里我们将前缀和 数组也放到 数组b 里面，也就是覆盖掉原数组。

完整代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1e5+10;
int n, m;
int a[N], b[N];

void addToRange(int l, int r, int c)
{
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)  scanf("%d", &a[i]);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)  addToRange(i, i, a[i]);
    
    while (m--)
    {
        int l, r, c;
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        addToRange(l, r, c);
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) b[i] = b[i] + b[i - 1];
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", b[i]);
    
    return 0;
}

这个代码其实有些地方的for循环是 可以合并在一起写的，如果你的思路清晰了，就合并着写。

---

完