G. Yasya and the Mysterious Tree

题意

给定一颗 $n$ 个节点的树，每条边有一个初始的权值
现在定义两种操作：

1. ^ $y$，给所有的边的权值异或上 $y$
2. ? $ux$，在树上任选一个不等于 $u$ 的点，在其与 $u$ 之间连接一条边权为 $x$ 的边，这样构成了一个环，这个环的权值就是环的所有边权的异或和。输出所有方案的环的权值最大值

注意操作二并不会真的连边，只是假设连边，树始终是一颗树。
只需要对所有操作二回答答案即可

思路

我们先以 $1$ 为根，在树上做 $dfs$，将每个点到根节点的异或和记录下来，记为 $W_u$
那么其实这是一个树上前缀异或和

进一步观察不难发现：操作一既然是对所有边都异或，那么我们并不需要真的对所有边都异或，我们只需要记录所有的操作一的 $y$ 异或起来（记为 $X$ ），然后根据操作二我们选择的点 $v$，其与点 $u$ 之间经过的边的数量的奇偶性，就可以得出这条路径被操作一影响的权值。
如果长度为偶数，那么操作一等价于没操作；如果为奇数，那么只需要在环的最终权值异或上 $X$ 即可。

到了这里不难想到要分奇偶讨论。先看长度为偶数的情况，即我们忽略操作一的影响，这时候我们只能选择距离 $u$ 长度为偶数的点，我们可以先在一开始 $dfs$ 的时候给每个点一个颜色，这样子就可以黑白染色，根据颜色来判断路径长度奇偶性了。
那么现在我们等价于只能选择与 $u$ 颜色相同的点（长度为偶数），如果我们能快速求出 $u\to v$ 的路径的异或和，然后异或上 $x$，就是这个环的权值了。

这里就到了让人眼前一亮的操作，$u\to v$ 的路径异或和 $d(u,v)=W_u⨁W_v$，即前面预处理的前缀异或和异或起来。
这是因为：$d(u,v)=d\left(u,lca(u,v)\right)⨁d\left(lca(u,v),v\right)$，那么它们 $lca(u,v)$ 往上的部分前缀异或和，由于异或了两次，所以被抵消了。

那么现在问题就转化为了：选择所有颜色与 $u$ 相同的点，使得 $W_u⨁W_v$ 最大，这个就是很经典的 $01Trie$ 问题

同理，长度为奇数的情况就是选择与 $u$ 颜色不同的点，使得 $X⨁W_u⨁W_v$ 最大

还有一个细节就是，不能选择 $u$ 本身，所以在查询之前，我们需要先将 $u$ 删除，同时维护 $Trie$ 上的有效点即可，避免查询的时候误入歧途

时间复杂度：$O\left((n+m)\cdot \log 10^9\right)$

#include<bits/stdc++.h>
#define fore(i,l,r)	for(int i=(int)(l);i<(int)(r);++i)
#define fi first
#define se second
#define endl '\n'
#define ull unsigned long long
#define ALL(v) v.begin(), v.end()
#define Debug(x, ed) std::cerr << #x << " = " << x << ed;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const long long INFLL=1e18;

typedef long long ll;

const int N = 200005;

struct node{
    int num[3]; //记录是否有效，用于删除自身
    int clr;
    int son[2];
}tree[N * 35];

int cnt;

std::vector<std::pair<int, int>> g[N];
std::pair<int, int> mes[N]; // [异或权值， 颜色]

void insert(int val, int c){ //c: 1黑 2白
    int now = 0;
    for(int i = 30; i >= 0; --i){
        int ch = (val >> i & 1);
        if(!tree[now].son[ch])  tree[now].son[ch] = ++cnt;
        now = tree[now].son[ch];
        tree[now].clr |= c;
        ++tree[now].num[c];
    }
}

void dfs(int u, int fa, int sum, int c){
    insert(sum, c);
    mes[u] = {sum, c};

    for(auto [v, w] : g[u])
        if(v != fa)
            dfs(v, u, sum ^ w, c ^ 3);
}

void erase(int val, int c){
    int now = 0;
    for(int i = 30; i >= 0; --i){
        int ch = (val >> i & 1);
        now = tree[now].son[ch];
        --tree[now].num[c];
    }
}

int query(int w, int c){
    int res = 0;
    int now = 0;
    for(int i = 30; i >= 0; --i){
        int val = (w >> i & 1);
        int son1 = tree[now].son[1];
        int son0 = tree[now].son[0];
        if(!val){
            if(son1 && (tree[son1].clr & c) && tree[son1].num[c]){
                res |= 1 << i;
                now = son1;
            }
            else now = son0;
        }
        else{
            if(son0 && (tree[son0].clr & c) && tree[son0].num[c]){
                res |= 1 << i;
                now = son0;
            }
            else now = son1;
        }
    }

    return res;
}

int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    std::cout.tie(nullptr);
    int t;
    std::cin >> t;
    while(t--){
        int n, q;
        std::cin >> n >> q;
        fore(i, 1, n){
            int u, v, w;
            std::cin >> u >> v >> w;
            g[u].push_back({v, w});
            g[v].push_back({u, w});
        }

        dfs(1, 0, 0, 1);

        int xor_sum = 0;
        while(q--){
            char opt;
            std::cin >> opt;
            if(opt == '^'){
                int x;
                std::cin >> x;
                xor_sum ^= x;
            }
            else{

                int v, x;
                std::cin >> v >> x;
                x ^= mes[v].fi;
                erase(mes[v].fi, mes[v].se);

                std::cout << std::max(query(x, mes[v].se), query(x ^ xor_sum, mes[v].se ^ 3)) << ' ';

                insert(mes[v].fi, mes[v].se);
            }
        }

        std::cout << endl;


        fore(i, 0, cnt + 1){
            tree[i].clr = 0;
            tree[i].son[0] = tree[i].son[1] = 0;
            tree[i].num[1] = tree[i].num[2] = 0;
        }
        cnt = 0;
        fore(i, 1, n + 1) g[i].clear();
    }
    return 0;
}