一、背景知识

1、连续随机变量的概率密度函数

对于连续型随机变量的概率密度函数（PDF），其在整个定义域上的积分必须等于1。这是概率密度函数的一个基本属性，它确保了随机变量取任何值的概率之和等于1，符合概率论的公理。

也即：如果x是一个连续型随机变量，其概率密度函数表示为f(x)，则必须满足以下条件：

${\int }_l^{u}f(x)dx=1，其中l、u表示积分的上下界限$

这个积分表示了随机变量x取值在l到u之间所有可能值的概率之和必须等于1。

2、连续随机变量的均匀分布

均匀分布，又称矩形分布，是一种连续概率分布，其概率密度函数（Probability Density Function, PDF）在某个区间内是恒定的，而在该区间外是零。均匀分布的特点是随机变量在定义域内任何子区间上取值的概率是相同的。

对于连续型均匀分布，其数学表达式如下：

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a}& \text{for }a\le x\le b,\\ 0& \text{otherwise}.\end{array}$
​
其中，a 是分布的下限，b 是分布的上限，b > a。

对于连续型均匀分布，期望值（均值）E[X]是区间中点： $E[X]=\frac{a+b}{2}$

二、蒙特卡罗积分法

蒙特卡罗积分法是一种基于随机数的数值积分方法，核心思想是利用随机变量的期望值来近似积分的值，它通过随机抽样生成大量的样本点的方式来近似计算定积分的值，这是因为积分值服从大数定律。

具体来说，对于被积函数h(x)，如果h(x)=f(x)p(x)，其中p(x)为一个在积分区间的概率密度函数，即满足在积分区间的积分值为1，即：

$${\int }_a^{b}h(x)dx={\int }_a^{b}f(x)p(x)dx，其中{\int }_a^{b}p(x)dx=1$$

则：
$${\int }_a^{b}h(x)dx\approx \frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(x_i)，其中n为抽样的样本点数量，f(x)=h(x)/p(x)$$

蒙特卡罗方法的误差主要取决于样本点的数量。一般来说，随着样本点数量的增加，误差会减小。
在实际应用中，蒙特卡洛积分法的一个关键步骤是生成随机数。这些随机数通常是均匀分布的，但也可以是其他类型的分布，如正态分布、泊松分布等，主要看被积函数h(x)怎么分解成f(x)p(x)，使得p(x)在被积区间的积分值为1，如果p(x)是均匀分布则p(x)=1/(b-a)，f(x)=(b-a)h(x)。

三、用蒙特卡罗求定积分求${\int }_1^{10}xdx$案例

采用p(x)为均匀分布，则p(x)=1/10，f(x)=10x，取n=11，$x_i$=1,2,…,10，针对11个采样点，计算10x的值并求和：

则：
$${\int }_1^{10}xdx\approx \frac{1}{11}\sum _{i=1}^{11}10x_i=550/11=50$$

如果用正规的积分计算方式，x的积分为x²/2，则${\int }_1^{10}xdx=(x^2/2){|}_0^{10}=50$，可以看到这2种方式计算的积分完全相同。

四、小结

本文介绍了蒙特卡罗积分法近似求解定积分的方法，并举例说明了具体使用方法。

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