接上篇的雅克比行列式部分。其实对于任何变量x,y, dxdy描述的是一个抽象的“面积”。比如，如果x是力F，y是时间t，那么“面积”Ft其实就是做功。所以我们可以认识到，对于dxdy和dudv之间，如果自变量u，v的改变量引起了因变量x，y的改变量，可以通过面积来帮助我们理解。这个面积是广义的。就像二重积分一样，体积只是帮助我们更好的去理解它是怎么积分的。
按照这个思路，我们思考下。对于uv空间下，自变量的改变量我们认为的dudv，是描述成面积的。
然后，在xy空间下，因为dudv的改变，导致了最终xy的改变dxdy。
这里还需要注意的一点是，相比于一维空间下的x和dx，二维的dudv是极小的一块面积。
并不是从u--->du和v---->dv延伸出去的面积。画个图说明：
因为右边才是微元的组成方式。
所以，dudv的改变量，到了xy下，就是(x,y),（x(u+du,v), y(u+du,v)）,(x(u,v+dv),y(u,v+dv),(x(u+du,v+dv),y(u+du,v+dv))这四个点围成的新的平行四边形的面积。
这一些都是这么合理。
第二个问题，可以分解成两个小问题，
曲线的偏导数。
曲面的偏导数
先看曲线的切线方程的证明：
核心思路是割线的极限就是切线，方向向量是p0q
这里很巧妙的同时除以德尔塔t，向量的方向不变。
然后看曲面的法线方程的证明：
取曲面上的一条曲线，按照我们之前的切线方程的性质。
对曲面方程两边同时求导就行了。
在《简明微积分》里面，证明稍微有所不同，
F(x,y,z) = 0
F(x(t),y(t),z(t)) = 0
全微分：F'xdx +F'ydy + F'zdz = 0
把(dx,dy,dz)看成切线，那么(F'x,F'y,F'z)就是法线了。
其实这里有个很重要的隐藏条件，就是为什么(dx,dy,dz)是这个曲面的切线。
如果看y=f(x)，显然dx可以是任意的。对于z=f(x,y)，dx,dy也可以是任意方向的。注意到，我们现在是F(x,y,z)=0，其实他就是z=f(x,y)的隐函数，也就是说,dz和dx,dy是有关系的。dx,dy可以是任意方向，但dz一定保证了从任何一点出发P(x,y,z), P(x+dx,y+dy,z+dz)一定还是在曲面上。
好好理解，很美妙。
然后是曲面参数方程的法向量怎么求。
x=x(u,v), y=y(u,v), z = z(u,v)
或者写作r=r(u,v)
固定v0，那么久得到了一条u曲线，固定u0，那么就得到了一条v曲线。
浴室r'u是u曲线的切向量，r'v是v曲线的切向量。
所以对于F(x,y,z)=0
我们对u和v分别求导。
F'xx'u + F'yy'u + F'zz'u = 0
F'xx'v +F'yy'v + F'zz'v = 0
所以F'x,F'y,F'z和r'u,r'v都垂直。所以后面两者的叉乘就是它的法向量。
代数证明参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/481722441
注意里面的核心是du,dv可以是任意的，所以F'x,F'y,F'z不可能同时为0.
这个前面解释过了。
