其中：拓扑排序以及关键路径针对的是一种特殊的图，称作有向无环图。

生成树及其构造

生成树：

• 图中所有顶点均由边连接在一起，但是不存在回路的图。
• 包含无向图 G 所有顶点的极小连通子图。
• 极小连通子图：
  • 顶点的边数目在这个连通子图中的数目已经达到最小。
  • 如果在该图中删除任何一条边，则子图不再连通，如果在该图中增加一条边，则图直接构成回路。

如：图右就是由包含图左所有顶点的极小连通子图。

生成树的特点

• 生成树的顶点个数与图的顶点个数相同。

• 生成树是图的极小连通子图，去掉一条边则非连通。

• 一个有 n 个顶点的连通图的生成树有 n-1条边。

  • 但是含有 n 个顶点 n-1 条边的图不一定是生成树。
    

• 在生成树中再增加一条边则必然形成回路。

无向图的生成树

既然一棵生成树需要包含图中所有的顶点，那么就对这个图进行遍历。在访问的过程中，把走过的这些边加到生成树上，就可以得到生成树了。

深度优先生成树

• 利用深度优先遍历的方法，遍历下图。
• 将图中由蓝颜色的边和所有的顶点构成的图抽出来。
• 这个连通子图就是我们要搞定的生成树了。

广度优先生成树

1. 从 V1 顶点出发去访问它的所有邻接点 V2 V3。
2. 依次访问 V2 的所有邻接点 V4 V5，以及 V3 的邻接点 V6 V7，最后访问 V4 的邻接点 V8。
3. 此时根据走过的路径以及所有的顶点，也得到了了一棵生成树。

6.6.1 最小生成树

最小生成树及其典型应用

• 通过一个带权值的无向网，可以构造多棵不同的生成树。
• 这些生成树当中都包含有 n个顶点和n-1条边。

最小生成树：

• 给定一个无向网络，在该网的所有生成树中，使得各边权值之和最小的那棵生成树称为该网的最小生成树，也叫最小代价生成树。

最小生产树的意义

• 将所有的顶点都保持连通，边数达到最少且没有回路，
• 将所有的顶点连接起来所需要的边的权值最小。

最小生成树的典型用途

• 欲在 n 个城市之间建立通信网，则 n 个城市应该铺设 n-1 条线路。
• 但因为每条线路都会有对应的经济成本(边的权值)，而 n 个城市最多有 n(n-1) / 2 条线路，那么，如何选择 n-1 条线路，才能使总费用最少？

显然此联通网就是一棵生成树

MST性质

• 构造最小生成树 Minimum Spanning Tree
• 构造最小生成树的算法很多，其中多数算法都利用率 MST 的性质。
• 后面要介绍的 Prim算法 和 Kruskal算法 都是使用的MST性质。

MST性质：

• 设 N = (V,E) 是一个连通网，U 是顶点集 V 的一个非空子集。
• 若边（u,v）是一条具有最小权值的边，其中 u ∈ U，v ∈ V-U，则必定存在一棵包含（u,v）的最小生成树。

举个例子

假设有个图 N，包含 V 个顶点，以及 E 条边。

• U 是顶点 V 的一个非空子集。
  • 假设现在子集 U 中只有一个顶点 V1。
  • 那么剩下的差集就是所有的顶点减去这个 V1，剩下 5 个顶点就在 V-U 这个集合中
• 假设现在存在一条有着最小权值的边，这个边是 u 到 v 之间的边。
  • u 在 U 集合中，v 则在 V-U 集合中，从 u 到 v 中有从 V1 到 V2 、V3 和 V4 三个顶点的边。
  • 其中：V1 到 V3 之间的这条边权值最小，那么这条边一定会包含在某一棵最小生成树当中。
• 反过来说：在构造最小生成树的时候，把权值最小的边包含进来

MST性质解释：

• 在生成树的构造过程中，图中 n 个顶点分别属于两个集合：
  • 已经落在生成树上的顶点集：U。
  • 尚未落在生成树上的顶点集：V-U。
• 接下来则应该再所有连通 U 中顶点 V-U 中顶点的边中选取权值最小的边。

1. 现在有不在生成树上的顶点集合 V-U，和已经在生成树上的顶点集合 U。

2. 如果从已经在生成树上的顶点，到还没有在生成树上的顶点之间存在着很多边。其中有一条边的权值最小。

3. 在构造生成树的时候，就将这条边加进去。
   • 前提是生成树不能有回路.
   • 如果出现了回路，则继续选择下一条权值最小的边，加进生成树。

构造最小生成树

构造的最小生成树可能不唯一

1. Prim(普里姆)算法

算法思想

1. 假设 N = (V,E) 是连通网，TE是 N 上最小生成树中边的集合。
   • TE：在有 n 个顶点中的图中找到 n-1 条边，TE 里存着的就是这 n-1 条边，也就是最小生成树中所有的边。
2. 初始令 U = {U0} （从某一个顶点开始构成最小生成树）(U0 ∈ V)，令边集TE合为空 TE = { }。
   • 这个 U0 就取 V1 来开始构成最小生成树。
   • 采用 MST性质：那么 V1 就是 U 集合当中的一个顶点，其余顶点为 V-U 集合中的顶点。

3. 在所有 u∈U，v∈V-U 的边 (u,v)∈E 中，找一条权值最小的边 (U0,V0)。
4. 将(U0,V0) 这条边 并入边集合 TE，同时将这一条边相关联的顶点 V0 并入 U (放到最小生成树中)。
   • 此时最小生成树上的顶点就有两个了。
   • 剩下的 4 个顶点就是 V-U 集合中的顶点了。

5. 接下来继续找已经在生成树上的点，和不在生成树上的点之间，找一条权值最小的边，显然就是 V3 - V6 之间的权值最小。

6. 之后就是以此类推，从在树上的所有点和不在树上的所有点之间找一条权值最小的边。
   • 将这条边以及这条边连接的点放入树中（边放入 TE ，点放入 U 中）。
   • 重复上述操作直至 U=V（U集合包含所有的顶点） 为止，则 T = (V,TE) 为 N 的最小生成树。

2. Kruskal(克鲁斯卡尔)算法

• 之前说过后 Prim算法 和 Kruskal算法 都是使用的 MST 性质。
• MST 本质上就是贪心算法，只不过 Kruskal 算法更贪心而已。

算法思想

1. 设连通网 N = (V,E)，令最小生成树初始状态为只有 n 个顶点而无边的非连通图 T=(V,{ })，每个顶点自成一个连通分量
   • 人话：一开始就直接把连通图上的所有顶点放到最小生成树集合中，但不放边进去。

2. 在 E 中选取权值最小的边，若该边依附的顶点落在 T 中不同的连通分量撒花姑娘（即：不能形成环）。则将此边加入到 T 中；否则，舍去此边，选取下一天权值最小的边。
   • 在连通图中找边的权值最小的边，但是每次找最小的比较麻烦，所以直接将所有的边按照权值排序，排序完之后直接从最小的边开始选。

• 目前权值最小的是 V1 V3之间的边，将这条边加入生成树。
• 然后权值最小的变为 V6 V4 之间权值为 2 的边，将这条边加入生成树。

3. 以此类推，直到 T 中所有顶点都在同一个连通分量上为止（选出了n-1条边为止）。
   • 注意：当有多个权值相同的边时，不能选会让变成环的边，比如：就不能选V1和V4之间的边，否则直接变成环。

此时已经有了 n-1 条边了，最小生成树构造完成。

两种算法比较

6.6.2 最短路径

最短路径问题

典型用途：

• 交通网络的问题：从甲地到乙地之间是否有公路连通？
• 在有多条道路的情况下，那一条路最短？

交通网络用有权网来表示

• 顶点：表示地点。
• 弧：表示两个地点有路连通。
• 弧上的权值：表示两个地点之间的距离、交通费或路途中所花费的时间等。

如何能够使一个地点到另一个地点的运输时间最短或运费最省，这就是一个求两个地点之间的最短路径问题。

问题抽象：

• 在有向网中 A 点（起点）到达 B 点（终点）的多条路径中，寻找一条各边权值之和最小的路径，即最短路径。
• 最短路径与最小生成树不同，路径上不一定包含 n 个顶点，也不一定包含 n-1 条边。

第一类问题

• 求两点间最短路径
• 这类问题称作单源最短路径，使用==Dijkstra（迪杰斯特拉）==算法。

第二类问题

• 某源点到其他各点最短路径
• 这类问题称作所有顶点间的最短路径，使用Floyd（弗洛伊德） 算法。

1. Dijkstra(迪杰斯特拉)算法

算法实现

1. 初始化：先找出从源点 V0 到各终点 Vk 的直达路径（V0,Vk），即通过一条弧到达的路径。
2. 选择：从这些路径中找出一条路径长度最短的路径（V0,u）。
3. 更新：然后对其余各条路径进行适当调整：
   • 若在图中存在弧（u,Vk），且==（V0,u）+（u,Vk）<（V0,Vk）==，则用这条更短路径（V0,u,Vk）代替（V0,Vk）。
4. 在调整后的各条路径中，再找长度最短的路径，依次类推。

迪杰斯特拉算法：按照路径长度递增次序产生最短路径。

1. 把 V 分成两组：

   • S：已求出最短路径的顶点的集合。
   • T = V-S：尚未确定最短路径的顶点集合。

2. 将 T 中顶点按最短路径递增到的次序加入到 S 中。

   • 保证：从源点 V0 到 S 中各定点的最短路径长度都不大于从 V0 到 T 中任何顶点的最短路径长度。
   • 每个顶点对应一个距离值：
     • S 中顶点：从 V0 到此顶点的最短路径长度。
     • T 中顶点：从 V0 到此顶点的只包括 S 中顶点作中间顶点的最短路径长度。

迪杰斯特拉算法步骤

1. 初始时令 S = {V0}，T = {其余顶点}。
   • T 中顶点对应的距离值用辅助数组 D 存放。
   • D[i] 初值：若 <V0,Vi> 存在（两点间存在弧），则为其权值；否则为 ∞。

2. 选择：从 T 中选取一个其距离值最小的顶点 Vj 加入 S。
   • 接下来要在这里面找到权值最小的路径与 V0 连接的另一个顶点 V2 加入 Vj。
   • 此时 V2 就加入了已经找到最短路径的顶点集合 S 中了，T 中少了个顶点。

3. 更新：对 T 中顶点的距离值进行修改：若加进 Vj 作为中间顶点，从 Vo 到 Vi 的距离值比不加 Vj 的路径要短，则修改为此距离值。

   • 人话：之后再看从 V0 直接出发到各个顶点的路径，以及 V0 经过 V2 再到其他顶点的路径。
   • 看看到其余顶点之间的路径有没有减少，如果减少则更新成新的路径。
     • V0经过V2到无法抵达V1，所以V0到V1之间的路径还是13 没有变化。
     • V0到V2就不用看了，它已经找到最短路径了。再看从V0经过V2到V3之间的路径为13。最后V0到V4为30。
     • V0到其余顶点之间即没有弧连着，也没有像V2这样的桥梁中转，所以全部为∞。
   • 继续挑一个路径与V0之间路径最短的顶点加进 Vj（已找到最短路径的顶点集合）中，此时 V0-V1已经找到最短路径，不再看V1。

4. 之后 V0 再以 V2、V1作为跳板跑到其他顶点，看看到其余顶点间的最短路径有没有变的更短。
   • 将 V3 加入最短路径顶点集，之后再以 V3 作为跳板收拾其他顶点。

5. 之后就是依次类推不断更新最短路径，以及将 V0 与最短路径之间连着的顶点加进 Vj 。

2. Floyd(弗洛伊德)算法

求所有顶点间的最短路径：

• 方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行迪杰斯特拉算法 n 次。这个算法的时间复杂度是 O(n³)。
• 方法二：Floyd（弗洛伊德）算法，这个算法要简单很多，但是这个算法的时间复杂度任然是 O(n³)。

算法思想：

• 逐个顶点试探。
• 从 Vi 到 Vj 的所有可能存在的路径中。
• 选出一条长度最短的路径。

弗洛伊德算法步骤

算法步骤

1. 初始时设置一个 n 阶方阵：
   • 令其对角线元素为 0（对角线元素都是到自身的路径，不考虑自己和自己之间的路）。
   • 两点之间若存在弧 <Vi,Vj>，则其对应元素为该弧的权值；否则为 ∞。

2. 逐步试着在原直接路径中增加中间顶点：
   • 若加入中间顶点后路径变短，则修改之，反之，维持原值。
   • 直到所有顶点试探完毕，算法结束。

• 加入顶点 A 之后，令 C 到 B 之间有了条路，对于其余顶点之间的路径并没有影响。

• 加入顶点 B 之后，令 A 到 C 之间的最短路径变为了 ABC 这条路径长度为 6 的路径，将最短路径修改为这这个，对其余顶点间的路径长度无影响。

• 加入顶点 C 之后，令 B 到 A 之间的最短路径从 BA 的 6 变为了 BCA 的 5，将最短路径修改成这个。

有向无环图及其应用

有向无环图：无环的有向图，简称 DAG 图。

• 有向无环图常用来描述一个工程或系统的进行过程。（通常把计划、施工、生成、程序流程当成是一个工程）
• 一个工程可以分为若干个子工程，只要完成了这些子工程（活动），就可以使得整个工程的完成。

如何表示这些子工程？

• AOV 网：拓扑排序
  • 用一个有向图表示一个工程的各个子工程及其相互制约的关系，其中以顶点表示活动，以弧表示活动之间的优先制约关系，称这种有向图为顶点表示活动的网，简称 AOV 网(Activity On Vertex network)。
• AOE 网：关键路径
  • 用一个有向图表示一个工程的各个子工程及其相互制约的关系，以弧表示活动，以顶点表示活动的开始或结束事件，称这种有向图为边表示活动的网，简称 AOE 网(Activity On Edge)

6.6.3 拓扑排序

假设现在要安排一份课程表：

• 想要学习数据结构这门课的话，事先得先学习离散设计和程序设计基础，所以数据结构的先修课就是 C1、C2这两门课。

• 再如 C9 的高等数学，他没有先修课（前趋），但是从图中看，C12、C10以及C11都需要先学习过 C9 的课，所以 C9 可以当成是这三门课的直接前趋。

• 同样的，只有学完了 C9 的数据结构之后，才能学习它的后继课程。

• 既然要开设这么些课程，但是有着明显前趋后继关系的课程又不能同时进行，怎么才能将这些课排在各个学期，而且还满足表中的先后关系，这个时候就要用到俺们的拓扑排序了。

在有向网中：用顶点表示要上的课程，用带方向的弧来表示这些课程之间的先后关系

AOV 网的特点：

1. 若 从 i 到 j 有一条有向路径，则 i 是 j 的前趋；j 是 i 的后继。
   • 如：从 C1 到 C5 之间有条有向路径，则称 C1 为 C5 的前趋；C5 为 C1 的后继。
2. 若 < i , j > 是网中的有向边，则 i 是 j 的直接前趋；j是 i 的直接后继。
   • 如：C1 到 C3 之间有一条边，则称 C1 为 C3 的直接路径；C3 为 C1 的直接后继。
3. AOV 网中不允许有回路，因为如果有回路存在，则表明某项活动是以自己为先决条件，显然这样不行。
   • 如：假设必须学完 C2 才能学习 C1 的课程，C1 学完之后才能学 C3，C3 学完了才能学 C2。那这就糊涂了，该先学那门课捏？

• 问题：如何判别 AOV 网中是否存在回路？

拓扑排序的方法

• 在 AOV 网没有回路的情况下，我们将全部活动排列成一个线性序列，使得 AOV 网中有弧 < i , j > 存在，则在这个序列中，i 一定排在 j 的前面，具有这种性质的线性序列称为拓扑有序序列，相应的拓扑有序排序的算法称为拓扑排序。

首先先把这个 AOV 网构造出来，用顶点来表示学习的课程，用顶点之间的有向弧来表示学习的顺序。

拓扑排序过程

1. 在有向图中选一个没有前趋的顶点且输出它。
   • 如：一开始在图中发现只有C1和C9没有前趋，选一个序号最小的 C1 出去。
2. 在图中删除该顶点，以及所有从该顶点发射出去的弧。
   • 将 C1 以及它所发射出去的四条弧从图中删除。

3. 重复（1）和（2），直到不存在没有前趋的顶点。
   • 拓扑序列的先后顺序不唯一。
   • 但是如果在图中某个顶点是另一个顶点的前趋，那么在线性序列中该顶点也必须是另一个顶点的前趋。
     • 如：顶点 C3 是 C8 的前趋，那么在拓扑序列中，C3 的位置也必须在 C8 前面。

4. 若此时输出的顶点数小于有向图中的顶点数，则说明有向图中存在环，返之说明输出的顶点序列为一个拓扑序列。

检测 AOV 网中是否存在环

• 对有向图构造其顶点的拓扑有序序列.
• 若网中所有顶点都在它的拓扑有序序列中，则该 AOV 网必定不存在环。

简单来说如果一个顶点有环的话，即便删掉他的前驱和相关约束关系，他自己或者它后继在约束它本身，所以他不可能变成那种没有前驱的结点被输出，这时拓扑序列的顶点个数必定不等于总顶点个数，可能有人会说，那为啥后继对它的约束不能被删除呢，那是因为后继的前驱是当前结点，当当前结点没被删除时，后继怎么可能删除呢。

在这三个顶点中找不到没有前趋的顶点，这几个顶点没法加到拓扑序列汇总。

6.6.4 关键路径

用AOE网表示工程计划

【例1】：某项目的任务是对A公司的办公室重新进行装修

【例2】：准备一个小型家庭宴会，晚上六点宴会开始，最迟机电开始准备？压缩哪项活动时间可以让总时间减少？

• 把工程计划表示为边表示活动的网络，即 AOE 网，用顶点表示事件，弧表示活动，弧的权表示互动持续时间。
• 事件（顶点）：表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始。
  • 如：顶点 V2 表示 A 活动结束，BC 活动可以开始，顶点 V3 表示 活动 B 结束，DE 活动可以开始。

求解关键路径

例：设一个工程有 11 个活动，9 个事件。

• 事件 V1：表示整个工程开始（源点：入度为 0 的顶点）。
• 事件 V9：表示整个工程结束（汇点：出度为 0 的顶点）。

有了这样一个AOE网后，现在有两个问题：

1. 完成整项工程至少需要多少时间？
   • 关键路径的长度，就是整个工程至少需要的时间。
2. 哪些活动是影响工程进度的关键？
   • 关键路径上的这些活动就是影响工程进度的关键。

• 关键路径：从源点到汇点路径长度最长的路径。
• 路径长度：路径上各活动持续时间（权值）之和。

道理很简单，就是几个人同时到一个地方集合，离得近的到得早，离得远的到得晚，但只有最晚到的人到了，大家才算凑到一块了。

确定关键路径

为了确定关键路径，需要定义 4 个描述量：

假设所有活动全部完成需要消耗 180 分钟

1. ve(vj)：关于顶点的，表示事件 vj 的最早发生时间。
   • 如：V2 事件，表示 a1 最早可以什么时候完成，和 a2 最早什么时候可以开始的时间。
   • ve(v1) = 0（事件 v1 不需要等待时间），ve(v2) = 30（事件 v2 连着的活动需要等 a1 的 30 完成了之后才能开始）
2. vl(vj)：关于顶点的，表示事件 vj 的最迟发生时间。
   • 如：假设所有活动要消耗 180 分钟，活动 a7 需要15分钟，V4 的 a3 最晚要在第 165 分钟的时候结束，活动 a7 最迟要在第 165 分钟开始。
   • 例：vl(v4) = 165
3. e(i)：表示活动 ai 的最早开始时间
   • 例：e(a3) = 30，活动 a3 最早能在第30分钟的时候开始。
4. l(i)：表示活动 ai 的最晚开始时间。
   • 例：l(a3) = 120，因为180分钟至少要预留15分钟给a7，所以 a3 至少要在这 165 分钟内完成，a3要花费45分钟，所以活动 a3 最迟要在第 120 分钟开始。

• l(i) - e(i)：表示完成活动 ai 的时间余量
  • 例：l(3) - e(3) = 90，活动 a3 在这 90 分钟内什么时候开始都不会影响进度。
• 关键活动：没有时间余量的活动，关键路径上的路径，即 l(i) = e(i)（即 l(i) - e(i) = 0）的活动。
• 由若干个关键活动所组成的路径就是关键路径。

如何找l(i) = e(i) 的关键活动？

设活动 ai 用弧 <j , k> 表示，其持续时间记为：Wj,k，则有：

1. e(i) = ve(j)
2. l(i) = vl(k) - Wj,k

如何求 ve(j) 和 vl(j)？

1. 求最早发生时间：从 ve(1) = 0开始向前递推
   • ve(j) = Max{ve(i) + Wi,j}，< i，j > ∈ T，2 <= j <= n。其中 T 是所有以 j 为头的弧的集合。
   • 从源点到某个顶点的全部路径中，选择路径长度（权值和）最大的那条路。
     • 例：开始刷牙到结束刷牙，根据你出门时间决定你最晚刷牙时间，根据你起床决定最早刷牙时间。
2. 求最晚发生时间：从 vl(n) = ve(n) 开始向后递推。
   • vl(i) = Min{vl(j) - Wi,j}，< i，j > ∈ S，1 <= i <= n-1。其中 S 是所有以 i 为尾的弧的集合。
   • Vi 顶点后继的那个顶点Vj的最迟发生时间减去Vi与Vj之间弧的权值。

顶点 vj 的最早发生时间

顶点 vj 的最迟结束时间

• 后面的顶点减去前面的顶点之间的弧的权值，取差的最小值

求关键路径步骤

1. 求 ve(i)、vl(j)：事件的最早、晚发生时间

2. 求 e(i)、l(i)：活动的最早、晚开始时间
   • e(i) = ve(j)：活动的最早发生时间 = 对应顶点事件的最晚发生时间
   • l(i) = vl(k) - Wj,k：对应顶点事件最迟发生时间减去活动的持续时间。
     • 如：活动 a1 的最迟发生时间就是 V2 的六分钟减去 a1 持续的时间 6 分钟 = 0。也就是说活动 a1 现在立马就得开始。
3. 计算 l(i) - e(i)：
   • 差值时间为 0 的活动是关键活动。
   • 由若干个关键活动所组成的路径就是关键路径

• 所以关键路径就是 a1 a4 a7 a8 a10 a11