【蓝桥杯】简单数论1——GCDLCM

news2024/11/13 22:21:36

GCD 

最大公约数Greatest Common Divisor(GCD)：整数a和b的GCD是指能同时整除a和b的最大整数，记为gcd(a,b)。由于-a的因子和a的因子相同，因此gcd(a, b)= gcd(al, |bl)。编码时只关注正整数的最大公约数。

GCD性质

(1) gcd(a, b)= gcd(a, a+b)= gcd(a, k·a+b)

(2） gcd(ka,kb)=kgcd(a,b)
(3）定义多个整数的最大公约数:gcd(a, b, c)= gcd(gcd(a, b),c)。
(4）若gcd(a, b)= d，则gcd(a/d, b/d)= 1，即a/d与b/d互素。这个定理很重要。
(5) gcd(a+cb, b)= gcd(a, b)

Python库函数gcd()和手写代码

Python函数gcd()

  • gcd()不会返回负数                ( c++函数std::_gcd()可以返回负数)
  • gcd()可以带多个参数
from math import *
print(gcd(15,81))        # 3

# 0与其他数b的最大公约数没有意义，但会输出b
print(gcd(0,44))         # 44
print(gcd(0,0))          # 0

print(gcd(-6,-15))       # 3  所有数的最大公约数都是正数
print(gcd(-17,289))      # 17
print(gcd(17,-289) )     # 17
print(gcd(48,96,120,688))# 8 多个数的公约数

手写GCD代码

  • 手写gcd函数，常用欧几里得算法。
  • 辗转相除法求gcd：gcd(a,b) = gcd (b,a mod b)        mod：取余
  • 这是最常用的方法，极为高效。
  • 设a > b，辗转相除法的计算复杂度为O(log_2a^3)。

 可能输出负数，和库函数不同。若不需要输出负数可以将第二行代码的a改成abs(a)。

注意：一次只能求两个数的最小公倍数，求n个数的需要求n-1次。

def gcd(a, b):
    if b==0: return a # 不需要输出负数可以将a改成abs(a)
    else:    return gcd(b, a%b)
print(gcd(15,81))  # 3

# 第二个数为负数才输出负数
print(gcd(-6,-15)) # -3
print(gcd (-17,289))# 17
print(gcd(17,-289)) # 17

LCM 

  • 最小公倍数LCM ( the Least Common Multiple） 。
  • a和b的最小公倍数lcm(a, b)，从算术基本定理推理得到。
  • 算术基本定理:任何大于1的正整数n都可以唯一分解为有限个素数的乘积:n=p_1^{c1}p_2^{c2}...p_m^{cm}，其中c_i都是正整数，p_i都是素数且从小到大。

  •  结论：lcm(a,b) = a*b/gcd(a,b) = a/gcd(a,b)*b   （c++先除后乘，避免溢出）

Python库函数lcm()和手写代码

1、库函数lcm()

在Python新版本(Python3.9才加入了lcm）中有库函数lcm()，它可以带多个参数。

from math import *
print(lcm(3,6,8,9))  # 72

2、手写lcm()

在Python的旧版本中并没有lcm()函数，自己写一个lcm():

from math import *
def lcm(x, y):
    return x*y//gcd(x, y)

例题一：核桃的数量 

2013年第四届省赛lanaiaoOJ题号210

题目描述

小张是软件项目经理，他带领 3 个开发组。工期紧，今天都在加班呢。为鼓舞士气，小张打算给每个组发一袋核桃（据传言能补脑）。他的要求是：

  1. 各组的核桃数量必须相同

  2. 各组内必须能平分核桃（当然是不能打碎的）

  3. 尽量提供满足 1,2 条件的最小数量（节约闹革命嘛）

输入描述

输入一行 a,b,c，都是正整数，表示每个组正在加班的人数，用空格分开(a,b,c<30)。

输出描述

输出一个正整数，表示每袋核桃的数量。

输入输出样例

输入

2 4 5

输出

20

简单题，答案就是三个数字的最小公倍数。

from math import*
def lcm(x, y):
    return x//gcd(x, y)*y
a,b,c = map(int,input ().split())
k = lcm(a, b)
print(lcm(k,c))

例题二：等差数列 

2019年第十届省赛，lanqiao0J题号192

题目描述

数学老师给小明出了一道等差数列求和的题目。但是粗心的小明忘记了一 部分的数列，只记得其中 N 个整数。

现在给出这 N 个整数，小明想知道包含这 N 个整数的最短的等差数列有几项？

输入描述

输入的第一行包含一个整数 N。

第二行包含 N 个整数 1,2,⋅⋅⋅,A1​,A2​,⋅⋅⋅,AN​。(注意 A1​ ∼ AN​ 并不一定是按等差数列中的顺序给出)

其中，2≤N≤10^5，0≤A_i​≤10^9。

输出描述

输出一个整数表示答案。

输入输出样例

输入

5
2 6 4 10 20

输出

10

样例说明： 包含 2、6、4、10、20 的最短的等差数列是 2、4、6、8、10、12、14、16、 18、20。

思路

  • 所有数字间距离最小的间隔是公差吗?
  • 并不是，例如{2，5，7}，最小的间隔是2，但公差不是2，是1。
  • 间隔的最小公因数是公差：这是gcd问题。把n个数据排序，计算它们的间隔，对所有间隔做GCD，结果为公差。
  • 最少数量等于：(最大值-最小值) / 公差+1。
from math import *
n = int (input())
a = list(map(int,input().split() ))
a. sort ()    # 原地排序
d = 0         # 初始化公差
for i in range (1, n):
    d = gcd (d, a[i]-a[i-1])
if d == 0:      # 公差为0
    print(n)    # 最小长度就是输入的个数
else:
    print((a[-1]-a[0])//d + 1) # 最小距离是以输入的数中最小值为第一个数，最大值为最后一个数
    # 注：a[-1]-a[0])//d得到多少个间距，长度=间距数+1

例题三、 Hankson的趣味题

Hankson的趣味题      lanqiao0J题号520

题目描述

在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1​ 和 c2​ 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a0​,a1​,b0​,b1​，设某未知正整数 x 满足：

  1. x 和 a0​ 的最大公约数是 a1​；

  2. x 和 b0​ 的最小公倍数是 b1​。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后，他发现这样的 x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入描述

第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。

接下来的 n 行每行一组输入数据，为四个正整数 a0​，a1​，b0​，b1​，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0​ 能被 a1​ 整除，b1​ 能被 b0​ 整除。

其中，保证有 1≤a0​，a1​，b0​，b1​≤2×10^9且n≤2000。

输出描述

输出共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0；若存在这样的 x，请输出满足条件的 x 的个数；

输入输出样例

输入

2
41 1 96 288
95 1 37 1776

输出

6
2

问题解析 

1、暴力法 

from math import *
def lcm(x, y):
    return x//gcd(x, y)*y

n = int(input())
for i in range(n):
    ans = 0
    a0,a1,b0,b1 = map(int,input().split())
    for x in range(1,b1+1):                  # x的最大可能值为b1
        if gcd (x, a0)==a1 and lcm(x, b0)==b1:
            ans +=1
    print(ans)

本题n≤2000，x的范围:x≤b1，而b1≤2×10^9，O(n*b1)=4*10^{12}，超过蓝桥杯规定的10^8，故超时了。

2、优化

  • 优化一：若x是b1的因子，有x*y = b1，则y也是b1的因子，但y和a0的最大公因数不一定是a1，和b0的最小公倍数不一定是b1，所以y也可能是答案，所以可以设x为b1的较小因子（小于\sqrt{b1}），y为较大因子（大于\sqrt{b1}），只需要x在1~\sqrt{b1}内查询就行。，同时判断y就行了。
  • 优化二：b1是x的公倍数，所以if b1%x==0，优先排除一些其他情况，缩短运行时间。
from math import*
def lcm(x, y):
    return x//gcd (x, y)*y
n = int(input ())
for _ in range (n):
    a0, a1, b0, b1 = map(int, input().split())
    ans = 0
    for x in range(1,int(sqrt(b1))+1):    # x是b1的较小因子，所以x小于sqrt(b1)，另一个因子y大于sqrt(b1)
        if b1 % x ==0:      #若b1是x的公倍数
            if gcd(x, a0) ==a1 and lcm(x, b0)==b1: ans+=1
            y = b1//x
            if x==y : continue    # 重复了，跳过
            if gcd(y, a0)==a1 and lcm(y, b0)==b1: ans+=1
    print(ans)

例题四：最大比例

2016年第七届省赛lanqiao0J题号120

题目描述

X 星球的某个大奖赛设了 M 级奖励。每个级别的奖金是一个正整数。并且，相邻的两个级别间的比例是个固定值。也就是说：所有级别的奖金数构成了一个等比数列。比如：16,24,36,54，其等比值为：3/2

现在，我们随机调查了一些获奖者的奖金数。请你据此推算可能的最大的等比值。

输入描述

第一行为数字 N (0<N<100)，表示接下的一行包含 N 个正整数

第二行 N 个正整数 Xi​(Xi​<109)，用空格分开。每个整数表示调查到的某人的奖金数额

输出描述

一个形如 A/B 的分数，要求 A、B 互质。表示可能的最大比例系数 测试数据保证了输入格式正确，并且最大比例是存在的。

输入输出样例

输入

3
1250 200 32

输出

25/4

思路： 

  • 把这些数字排个序，然后算出相邻两个数的比值。
  • 最小的那个比值K是否就是答案呢?
  • 不是。例如{2,16, 64}，比值是16/2=8，64/16=4，最小比值K=4。但原序列是{2,4,8,16,32,64}，比值是2。
  • 答案可能比K小，如何求出答案?如果一个个试比K小的分数，肯定会超时。

换一个思路：

  • 不是算相邻两个数的比值，而是每个数对第一个数的比值。
  • 设原序列是\{x,xq^{1},xq^2...,q^{n-1}\},q为公比，题目要求从中挑出一些数字\{xq^c,xq^{d}...,xq^{y},xq^z\},它们之间的两两相除，得到一个比值序列\{1,q^{d-c},...,q^{z-y}\}，这其中的一些数字可能是相同的。所以应该算它们对第一个数的比值，得\{1,q^{d-c},...,q^{y-c},q^{z-c}\}=\{1,q^{kd},...,q^{ky},q^{qkz}\}，这个序列内的所有数字肯定不同。
  • 令q= a/b，这个序列变成了\{1, (a/b)^{kd}, .... (a/b)^{ky}, (a/b)^{kz}\}
  • 分成分子和分母两个序列，分别是A=\{a^{kd},...,a^{ky}, a^{kz}\}, B=\{ b^{kd}, .... b^{ky}, b^{kz}\}。
  • 题目已知这两个序列A、B中每个元素的值，求a和b。

举例：A={16,128,512,1024}，得a=2，即A=\{2^{4},2^{7},2^{9},2^{10}\}

  • 如何根据A求a?
  • 显然，A中每个数除以前面一个数，都能够整除，得到a的一个倍数，但是这个倍数还不是a，需要继续除，直到b为1时，就得到a。以前2个数\{2^{4},2^{7}\}为例，计算步骤是:2^{7}/2^{4}=2^{3},2^{4}/2^{3}=2^{1},2^{3}/2^{1}=2^{2},2^{2}/2^{1}=2,2^{1}/2^{1}=1，结束，得a=2。这是一个辗转相除的过程。
  • 对A中所有元素都执行这个过程，就得到了a。

代码 

from math import *
# 辗转相除得到b=1时的a
def gcd_sub(a, b):
    if a<b: a,b = b, a # 交换，保证a>b
    if b==1: return a
    return gcd_sub(b, a//b)
n = int(input())
x = list(set(map(int,input ().split()))) # set有去重的作用,万一输入有相同的数
x.sort ()
n = len(x)
a = []
b =[]
for i in range(1, n):
    d = gcd(x[i],x[0])  # 与第一个数求比值
    a.append(x[i]//d)   # A序列
    b.append(x[0]//d)   # B序列
n = len(a)
up = a[0]   # 分子
down = b[0] # 分母
# 求分子分母的最小公因数
for i in range(1,n):
    up = gcd_sub(up, a[i])
    down = gcd_sub(down,b[i])
print('%d/%d'%(up, down))

例题五：寻找整数 

2022年第十三届省赛，填空题，lanaiao0J题号2131

问题描述

本题为填空题，只需要算出结果后，在代码中使用输出语句将所填结果输出即可。

有一个不超过 10^{17} 的正整数 n，知道这个数除以 2 至 49 后的余数如下表所示，求这个正整数最小是多少。

解法一：模拟

  • 暴力法:一个个检验1～10^{17}的每个数
  • 由于这个数n最大可能是10^{17}，验证的时间太长。

如何减少验证时间?

  • 如果n是某个数k的倍数，那么可以递增k来验证，for i in range(1,10^{17},k)，循环10^{17}/k次，k越大，验证的次数越少。
  • 从表中看出n是11和17.的倍数,最小的k =11×17=187。
  • 但是k仍然太小,10^{17}/187≈10^{14}，for循环10^{14}次仍然耗时太长。（即使用C++编码运行，也需要10^6秒)

如何找到一个较大的k?

  • 证明：满足表格中部分（例如a= 45，46，47，48，49)的n，从小到大的n1、n2、n3、...，它们是一个等差数列，即n2-n1,= n3-n2= ...=k'。
cnt = 0
tmp=0
for i in range(187,10**17,187):
    if i % 49 ==46 and i % 48== 41 and i % 47 == 5 \
                   and i % 46 == 15 and i % 45 == 29:
        cnt += 1
        print(i,'k=', i-tmp)    # i-tmp是两次满足这五个要求的公差
        tmp=i
    if cnt > 3: break
# 5458460249 k= 5458460249
# 12590206409 k= 7131746160
# 19721952569 k= 7131746160
# 26853698729 k= 7131746160

先用Python编码求k'：得k'=7131746160，故从5458460249开始，步长k=7131746160的等差数列

  •  完全满足表格的从小到大的n1、n2、n3、...，也是等差数列
  • n2-n1 = n3-n2= ... =k。k是k’的倍数。（因为满足后五个要求是满足全部要求的子条件）
  • 用k’=7131746160作为for循环的步长暴力检验找到最小的n。
  • 循环次数:1017/k’~14,000,000。

代码演示1

mod = [0,0,1,2,1,4,5,4,1,2,9,0,5,10,11,14,9,0,11,18,9,11,11,15 ,17,9,23,20,25,16,29,27,25,11,17,4,29,22,37,23,9,1,11,11,33,29,15,5,41,46]
for i in range (5458460249,10**17,7131746160):     #开始是5458460249,步长k=7131746160
    for a in range(2,50):
        if i % a != mod[a]:
            break
    else:               # for else结构: 若for正常结束,运行else语句
        print(i)        # 输出答案:2022040920220409
        break

解法二：LCM

从表格的第一个数2开始，逐个增加后面的数，找满足条件的n。
1）满足第一个条件，除以2余1的数有:3、5、7、9、...此时步长k= 2。

2）继续满足第二个条件，除以3余2的数，只能从上一步骤的3、5、7、9、...中找，有5、11、17、...
此时步长k =6，为什么k=6?

实际上是LCM: k = lcm(2,3)=6

证明:
设n1和n2满足:
n1= 2a1+1= 3b1+2
n2= 2a2+1 = 3b2+2
n2和n1的差k = n2-n1= 2(a2-a1)= 3(b2-b1)
k是2的倍数，也是3的倍数，那么k是2和3的最小公倍数，k= lcm(2,3)=6。

 3）继续满足第三个条件，除以4余1的数，只能从5、11、17、...中找，有5、17、29、...此时步长k = lcm(2,3,4)= 12。

4）继续满足第四个条件，....

逐个检查表格，直到满足表格中所有的条件。

代码演示2

代码计算量极小，只需要对表格中的2~49做48次LCM即可。

from math import *

mod = [0, 0, 1, 2, 1, 4, 5, 4, 1, 2, 9, 0, 5, 10, 11, 14, 9, 0, 11, 18, 9, 11, 11, 15, 17, 9, 23, 20, 25, 16, 29, 27,
       25, 11, 17, 4, 29, 22, 37, 23, 9, 1, 11, 11, 33, 29, 15, 5, 41, 46]
ans = 2 + mod[2]
k = 2  # 从第一个数的步长2开始
for i in range(3, 50):
    while 1:
        if ans % i == mod[i]:   # ans是满足前i个数的解
            k = lcm(k, int(i))  # 对当前步长k和i做LCM得到新的步长
            break
        else:
            ans += k            # ans不满足就累加当前步长k,直到ans满足前i个数的解
print(ans)

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【Spring（八）】带你打通Spring的注解开发

文章目录注解开发注解开发定义bean纯注解开发注解开发bean作用范围与生命周期管理注解开发依赖注入注解开发管理第三方bean注解开发实现为第三方bean注入资源总结注解开发 Spring的配置我们已经告一段落了&#xff0c;那接下来我们就要发挥Spring的强项了&#xff1a;简化开发&…
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MySQL —— 数据库基础

MySQL —— 数据库基础

目录 一、数据库的基本概念 1. 什么是数据库 2. 主流的数据库 二、基本使用 1. 连接服务器 2. 服务器管理 3. 服务器、数据库、表关系 4. 使用案例 5. 数据库的存储逻辑 三、MySQL架构 四、SQL分类 五、存储引擎 1. 存储引擎 2. 查看存储引擎 3. 存储引擎对比 …
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Elasticsearch 这篇还不够吗

Elasticsearch 这篇还不够吗

系列文章目录 文章目录系列文章目录一、概述1. ES 的基本概念2. ES 和关系型数据库的对比二、环境准备1. linux 下单机安装三、入门操作1. 创建索引2. 写入文档3. 根据id搜索文档4. 根据一般字段搜索文档5. 根据文本字段搜索文档四、ES 客户端实战1. Spring Data Elasticsearch…
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学习shell与shell编程 vi与vim

学习shell与shell编程 vi与vim

Linux配置文件都是以ASCII的纯文本形式存在。 为什么学习vi 1)UnixLike系统都会内置vi文本编辑器&#xff0c;其他的文本编辑器则不一定存在 2)许多软件的编辑接口都会主动调用vi 3)vi具有程序编辑的能力&#xff0c;可以主动以字体颜色辨别语法的正确性 4)程序简单&#…
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webgl纹理贴图机制

webgl纹理贴图机制

文章目录前言纹理图片大小规范纹理坐标系统贴图流程JavaScript部分齐次坐标—uv坐标数据准备加载外部纹理图像纹理配置加载着色器部分顶点着色器片元着色器完整示例使用多张纹理着色器接受两个纹理单元封装纹理配置赋值函数完整示例总结前言 在计算机图形学中&#xff0c;为了…
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HTML+CSS+JS制作炫酷【烟花特效】

HTML+CSS+JS制作炫酷【烟花特效】

文章目录制作炫酷烟花特效一、普通烟花(分散形)HTML代码CSS代码JS代码二、圆形烟花HTML代码CSS代码JS代码三、爱心形烟花HTML代码CSS代码JS代码四、源码获取在线下载制作炫酷烟花特效 &#x1f4a1;本篇内容使用htmlcssjs制作鼠标点击出现烟花效果&#xff0c;分别介绍了分散型…
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python-测试代码

python-测试代码

1. 测试函数get_name.pydef combination(first, last):将姓名组合在一起name first lastreturn name.title()hello_world.pyfrom get_name import combinationprint("Enter q to quit!") while True:first input(Please input your first name: )if first q:b…
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