计算机图形学入门03：二维基本变换

news2024/11/9 9:49:10

变换(Transformation)可分为模型(Model)变换和视图(Viewing)变换。在3D虚拟场景中相机的移动和旋转，角色人物动画都需要变换，用来描述物体运动。将三维世界投影变换到2D屏幕上成像出来，也需要变换。

1.缩放变换

如上图所示，把一个图形缩小为原来的0.5倍，那么就需要x坐标变为0.5倍，y坐标也变为0.5倍，这样的变换叫做缩放(Scale)变换。可以用以下表达式表示：

可以用矩阵的形式表示如下：

上面的矩阵表达式针对x轴和y轴进行相同比例的缩放，实际中两个方向上的缩放可能不相同，把矩阵表达式修改如下：

Sx表示在x轴方向上缩放的倍数，Sy表示在y轴方向上缩放的倍数。

2.反射变换

反射(Reflection)变换也可称为镜像变换，如下图所示：

如上图需要将物体以y轴进行镜像，那么可以用以下表达式表达：

用矩阵形式的表达如下：

当然还有其他方向的反射矩阵。

3.切变变换

如上图这个变换好像是拽着图形的右上角沿着x轴向右拉了一段距离，称为切变(Shear)变换。

提示：

1.y=0时，水平位移为0

2.y=1时，水平位移为a（当y=0.5时，水平位移是0.5a，即y*a）

3.垂直位移总是0

通过以上三个提示的规律可得出任何x轴上的位移为a*y，表示移动距离等于原本x位置加上a*y，即x’=x+a*y，而y轴的值始终不变，即y’=y。用矩阵表达为如下：

4.旋转变换

说旋转(Rotation)，默认指的是绕原点(0,0)逆时针旋转，下图是物体绕原点逆时针旋转θ角的示意图：

以上变换同样可以写成矩阵的形式：

推导如下

1.首先确认要达到的目标位置(x’，y’),假设原点(x,y)。

2.用矩阵形式表示：

如此需要求得a，b，c，d四个未知数。

3.所有旋转的点都要符合最终公式，包括特殊点。先找出特殊点A(1,0)，将A点旋转 $\theta$ 度，通过三角定律可得A的坐标变成( $\sin \theta$ ， $\cos \theta$ )，假设当前就是以A点为原始点，进行了 $\theta$ 度的旋转。那么带入后矩阵表示： $\begin{bmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b\\ c& d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$ 。通过矩阵相乘可得：cos $\theta$ =a*1+b*0，sin $\theta$ =c*1+d*0，所以a=cos $\theta$ ，c=sin $\theta$ 。

4.同理使用B(0,1)这个特殊点旋转 $\theta$ 度，求得b=-sin $\theta$ ，d=cos $\theta$ 。

5.线性变换

前面提到的变换都可以使用以下表达式表示：

用矩阵都可以如下表示：

继而表示为：输出坐标 = 变换矩阵 × 输入坐标的形式：

满足以上条件的变换称为线性(Linear)变换。

5.齐次坐标

5.1仿射变换

如上图所示，沿x轴平移tx，沿y轴平移ty，这样是一个平移变换。可以用以下表达式表示：

你会发现，它无法用前面熟悉的线性变换矩阵的形式表示，也就是说平移变换是非线性变换。只能用以下矩阵形式表示，上面把这种变换称为非线性变换，其实它有专门的名字叫仿射(Affine)变换。

为了方便统一，不希望平移变换是一个特例，那么是否有一个统一的方式来表示所有的变换？通过不断探索，引入了齐次坐标(Homogeneous coordinates)。

5.2什么是齐次坐标

我们可以在现在二维上，再增加一个维度，变成三维，在坐标系上添加第三个坐标(W坐标)，如果在卡尔坐标系上有点(x,y)，当转换为齐次坐标后这个点变为(wx,wy,w)。反过来同样适用，如果在其次坐标系中有一个点(x,y,w)，转换到笛卡尔坐标系下，这个点应该表示为(x/w,y/w)。如此，对于任何一个点和任意一个向量，我们都可以表示如下：