求斐波那契数列第n项的值

news2024/12/23 23:06:57

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本期介绍🍖
主要介绍：什么是斐波那契数列，递归实现求斐波那契数列第n项值，递归法为什么不适合求斐波那契数，用迭代法实现求斐波那契数列的值👀。

文章目录

1. 斐波那契数列是什么？
2. 题目
2. 递归实现思路
3. 迭代实现思路

1. 斐波那契数列是什么？

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…这个数列从第3项开始，之后的每一项都等于前两项之和。

2. 题目

求解：斐波那契数列第n项的值。

2. 递归实现思路

斐波那契数有一个特性，每一个斐波那契数都是前两个斐波那契数的和。由此当想要求第n个斐波那契数时，就可以写成：Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)。这样求第n个斐波那契数，就转化为求第(n-1)和第(n-2)个斐波那契数了。如此就可以层层转化下去，直至求第1和第2个斐波那契数，公式如下：
在这里插入图片描述

实现代码如下：

#include<stdio.h>
int Fib(int n)
{
	if (n <= 2)
		return 1;
	else
		return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	int back = Fib(n);
	printf("第%d个斐波那契数为>：%d\n", n, back);
	return 0;
}

当使用上面的代码计算第50个斐波那契数时，会发现运行的代码需要非常久的时间才能算出来。那为什么会这样呢？如下图所示：
在这里插入图片描述

真正导致计算第50个斐波那契时间过长的原因，是由于在递归的过程中会有重复计算，而且层数越深，冗余计算就越多。可以通过计算求第30个斐波那契数中Fib(3)被重复调用的次数，代码如下：

#include<stdio.h>
int count = 0;
int Fib(int n)
{
	if (n == 3)
		count++;
	if (n <= 2)
		return 1;
	else
		return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	int back = Fib(n);
	printf("计算Fib(3)的次数>：%d\n", count);
	printf("第%d个斐波那契数为>：%d\n", n, back);
	return 0;
}

在这里插入图片描述

当计算第30个斐波那契数，重复计算Fib(3)的次数高达317811，所以可以看出用递归实现计算斐波那契数，是非常不明智的，于是思考如何使用迭代解决。
大家因该有一个疑惑，重复如此多次递归调用，斐波那契数列为什么没有出现栈溢出的情况？值得注意，不是重复计算多了就会出现栈溢出，而是同时压栈的层数太多才会导致栈溢出。虽然一眼望去该函数需要递归大约 2⁴⁹ 次，但这并不代表该函数同时压栈的层数深。因为Fib()的执行逻辑是，先递推一条分支到头，再逐步回归，再递推如此往复。Fib(50)递归最深也就50个调用堆栈。

3. 迭代实现思路

除了递归法还可以通过迭代法来求第n项的斐波那契数列，因为不管是递归还是迭代其本质都是循环，无非就是正向思维和反向思维之区别。
迭代法思路：从项斐波那契数的第1项开始，然后通过每一项都等于前两项之和，不断的迭代就可以递推出第n项斐波那契数的值了。

int Fib(int n)
{
	int num1 = 1;
	int num2 = 1;
	int num3 = 1;
	while (n >= 3)
	{
		num3 = num1 + num2;
		num1 = num2;
		num2 = num3;
		n--;
	}
	return num3;
}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	int back = Fib(n);
	printf("第%d个斐波那契数为>：%d\n", n, back);
	return 0;
}

在这里插入图片描述

如上所示，当计算第50个斐波那契数，一瞬间就的出来了，只不过int类型存不下这个数，打印结果才是一个负数。
在很多实际问题中，我们可以用递归来解决也可以用非递归来是解决，而有时用递归去解决问题的时候会存在一些问题，就譬如刚刚求斐波那契数列的问题的效率低下。所以碰到这类问题时我们就不能再使用递归的方法了，我们需要另辟蹊径从另一个角度来思考对策，就譬如迭代的方法。

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