信息学奥赛初赛天天练-10-组合数学-排列组合-一次彻底搞懂分组分配问题

news2024/11/22 23:15:57

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平均分组

是指将所有的元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等,即m个不同的元素平均分成n个组,有多少种分组方法

由于是平均分组,分组选择元素时会出现重复,因此结果需要除以A(n,n)

平均分组特征

1)被分组的是不同元素

2)出现平均分组

例题1

有4个人,平均分为2组,即每组2人,共有多少种分组方法?

答案 3 种

分析

第1步

从4个人中选2人,放入第1组 C(4,2) = 4 * 3 / 2 =6

第2步

从剩余2人中选2人,放入第2组 C(2,2)=1

第3步

平均分成2组,除以A(2,2)=2

所以分组方法数为 6 * 1 /2 = 3 种

除以A(2,2)的原因:

我们可以枚举C(4,2):从4人中选2人的情况,假如这4人分别为 甲、乙、丙、丁,可以看出1,6和2,5和3,4选的人是相同的,平均分组没有区别,所以需要除以A(2,2)
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同样的道理,平均分成3组是需要除以A(3,3)

例题2

有4个人分为3组,其中有1个2人组,2个1人组,共有多少种分组方法?

答案 6 种

分析

第1步

从4人中选2人放入1个组 C(4,2)=4 * 3 / 2 = 6

第2步

从剩余2人中,选1人放入其中1人组 C(2,1)=2

第3步

剩余1人放入剩余1人组 C(1,1)=1

第4步

1人组有2个,属于平均分组所以需要除以A(2,2)

C(4,2) * C(2,1) *C(1,1)/A(2,2)=6 * 2 * 1 / 2 =6 种

例题3

有4个人,平均分为2组,分配到A,B两地,共有多少种方式?

答案 6 种

分析

平均分组

第1步

从4个人中选2人,放入第1组 C(4,2) = 4 * 3 / 2 =6

第2步

从剩余2人中选2人,放入第2组 C(2,2)=1

第3步

平均分成2组,除以A(2,2)=2

所以分组方法数为 6 * 1 /2 = 3 种

安排去A和B两地,A(2,2)

所以3 * A(2,2) = 6 种

具体如下图
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练习

1)将12本书按4:4:4平均分成三堆,有多少种不同的分法?

2)将12本书按2:2:2:6分成四堆有多少种不同的分法?

3)将10名运动员平均分成两组进行对抗赛,问有多少种不同的分法?

A. 120 B. 126 C. 240 D. 252

4)某学校举办篮球比赛,6支报名参赛的队伍将平均分为上午组和下午组进行小组赛。其中甲队与乙队来自同班级,不能分在同一组,则分组情况共有( )种可能?

5)小明有6本不同的书,分成2组,一组4本,一组2本,有多少种不同的分法?

6)有4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有( ) 种

7)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球3个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同分配方案共有( ) 种.

8)某学校派出五名教师去三所乡村学校支教,其中有一对教师夫妇参与支教活动,根据相关要求,每位教师只能去一所学校参与支教,并且每所学校至少有一名教师参与支教,同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教,则不同的安排方案有( )

A. 18 B. 24 C. 36 D. 48

9)在某互联网大会上,为了提升安全级别,将5名特警分配到3个重要路口执勤,每个人只能选择一个路口,每个路口最少1人,最多3人,且甲和乙不能安排在同一个路口,则不同的安排方法有(  ) 种

A. 180 B. 150 C. 96 D. 114

5 获取练习答案

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