C语言数据结构 - 选择题集合（二叉树）

news2024/11/15 7:00:41

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树的专辑

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1.有n个元素的完全二叉树的深度是（）

A.nlogn

B.nlogn+1

C.logn

D.logn+1

答案：D

解析：

设完全二叉树的节点数为 N，高度为 h ，高度为 h 时空的结点个数为 x

我们根据完全二叉树的性质得： $N = 2^{h}-1-x$

所以 $h = log_{2}\left ( N+1+x \right )$ 然后向上取整 $h = log_{2}N + 1$

2.设一棵二叉树中有3个叶子结点，有8个度为1的结点，则该二叉树中总的结点数为（）个

A.11

B.12

C.13

D.14

答案：C

解析：

设 Ni 表示度为 i 的节点个数，则节点总数 N = N0 + N1 + N2

节点个数于节点边的关系：

N 个节点的树有 N-1 个边

边与度的关系：N - 1 = N1 + 2 * N2

故：N0 + N1 + N2 - 1 = N1 + 2 * N2

因此，得：N0 = N2 + 1

回到原题，N0 = 3，N1 = 8，可得N2 = 2

因此答案是 3 + 8 + 2 = 13

3.一颗完全二叉树有1001个结点，其叶子结点的个数是（）

A.251

B.500

C.501

D.不能确定

答案：C

解析：

首先我们知道任意一棵二叉树都有 N0 = N2 + 1 性质（设 Ni 表示度为 i 的节点个数）

另外，在完全二叉树中，如果节点总个数为奇数，则没有度为 1 的节点，如果节点总个数为偶数，只有一个度为 1 的节点

我们分类讨论即可：

当节点数为偶数时，N = N2 + N0 + 1 即 N = 2N0 （因为算出是分数，所以不合理，即没有度为1的节点）

当节点数为奇数时，N = N2 + N0 即 N = 2N0 - 1 (解出的结果得：N0 = 501)

4.在一颗度为3的树中，度为3的结点有2个，度为2的结点有1个，度为1的结点有2个，则叶子结点有（）个

A.4

B.5

C.6

D.7

答案：C

解析：

设度为 i 的节点个数为 Ni，该树总共有 N 个节点，则 N = N0 + N1 + N2 + N3

根据我们之前所学的知识：我们知道：一颗 N 节点的数有N-1条边（该树中除了根节点没有前驱以外，每个节点有且只有一个前驱）

根据度的定义，总边数与度之间的关系为：N-1 = 0*N0 + 1*N1 + 2*N2 + 3*N3

带入节点联立 N = N0 + N1 + N2 + N3 和 N-1 = 0*N0 + 1*N1 + 2*N2 + 3*N3 两个方程

解得：N0 = 6

5.一颗拥有1000个结点的树度为4，则它的最小深度是（）

A.5

B.6

C.7

D.8

答案：B

解析：

如果这棵树每一层都是满的，则它的深度最小，假设它为一个四叉树，高度为h，则这个数的节点个数为 $N = \left ( 4^{h}-1\right )/3$

节点数：   1      +      4*4^0    +       4*4^1     +       4*4^h-1

          1             2                3                  h

          层            层               层                 层

整棵树的节点得：4^0+4^1+4^2+...+4^(h-1) 等比数列求和=（4^h-1）/3

当 h = 5，最大节点数为 341，当 h = 6，最大节点数为 1365，所以最小深度应该为 6

6.已知某二叉树的前序遍历序列为5 7 4 9 6 2 1，中序遍历序列为4 7 5 6 9 1 2，则其后序遍历序列为（）

A.4 2 5 7 6 9 1

B.4 2 7 5 6 9 1

C.4 7 6 1 2 9 5

D.4 7 2 9 5 6 1

答案：C

解析：
我们可以通过：前序遍历找到子树的根，在中序遍历中找到根的位置，然后确定根左右子树的区间

首先我们根据前序找到根节点：

5 7 4 9 6 2 1

然后在中序中找到根节点的位置：

4 7 5 6 9 1 2

这个时候 4 7 就是 5 的左子树，6 9 6 2 1 就是 5 的右子树

然后我们可以根据这个规律将这颗树补全：
我们再回到前序：7 4 9 6 2 1

这个时候 7 就是5的左子树即当前的根

再回到中序：4 7 6 9 1 2

这个时候 4 就是 7 的左子树

再回到前序： 9 6 2 1

这个时候开始构建右子树，而 9 就是 5 的右子树即当前根

再回到中序： 6 9 1 2

这个时候 6 就是 9 的左子树，1 2 在 9 的右子树上

再回到前序： 2 1

这个时候 2 就是 9 的右子树即当前根

再回到中序： 1 2

这个时候 1 就是 2 的左子树，这个时候树已经构建完成了

我们再根据后序遍历的规律就可以得出答案了 ! ! !

7.如果一颗二叉树的前序遍历的结果是ABCD，则满足条件的不同的二叉树有（）种

A.13

B.14

C.15

D.16

答案：B

解析：

首先这棵二叉树的高度一定在3~4层之间:

三层：

A(B(C,D),()), A((),B(C,D)), A(B(C,()),D), A(B((),C),D),

A(B,C(D,())), A(B,C((),D))

一共 6 种

四层：

如果为四层，就是单边树，每一层只有一个节点，除过根节点A，其他节点都有两种选择，在上层节点的左边还是右边，所以2*2*2共8种

总共为 14 种

8.设根结点的深度为1，则一个拥有n个结点的二叉树的深度一定在（）区间内

A.[log(n + 1)，n]

B.[logn，n]

C.[log(n + 1)，n - 1]

D.[log(n + 1)，n + 1]

答案：C

解析：
首先我们知道拥有n个结点的二叉树的：

最大深度的模型就是单边数，节点数即深度，也就是 n

最小深度的模型可以看作完全二叉树，根据性质： h = log(n+1) 向上取整

也就是说：二叉树的深度范围在 [log(n + 1)，n] 之间

9.设某种二叉树有如下特点：每个结点要么是叶子结点，要么有2棵子树。假如一棵这样的二叉树中有m（m>0）个叶子结点，那么该二叉树上的结点总数为（）

A.2m+1

B.2(m-1)

C.2m-1

D.2m

答案：C

解析：

根据二叉树的性质，在任意的二叉树中，度为 0 的节点比度为 2 的节点多了 1 个

现在叶子节点为 m 个，即度为 0 的节点有 m 个，那度为 2 的节点个数就为 m-1 个

而题目说该二叉树中只有度为2和度为0的节点，因此总的节点数就为：N = m+m-1 = 2m-1

10.一棵非空的二叉树的先序遍历序列与后序遍历序列正好相反，则该二叉树一定满足（）

A.所有的结点均无左孩子

B.所有的结点均无右孩子

C.只有一个叶子结点

D.至多只有一个结点

答案：C

解析：

前序遍历：根左右

后序遍历：左右根

从二叉树前序和后序遍历结果规则中可以看出，如果树中每个节点只有一个孩子时，遍历结果肯定是反的

比如下面这前序和中序序列所构成的树的结构：

故每个节点只有一个孩子，即只有一个叶子节点

11.设哈夫曼树中有199个结点，则该哈夫曼树中有（）个叶子结点。
A.100
B.99
C.101
D.102

答案：A

解析：

根据哈夫曼树的性质：两两节点相结合形成的树，所以没有度为 1 的节点

再根据二叉树的特性：度为 0 的节点比度为 2 的节点多了 1 个（即：N0 = N2 + 1）

所以 N = N0 + N2 和 N0 = N2 + 1 联立解得：N0 = 100

12.将一株有100个节点的完全二叉树从上到下，从左到右依次进行编号，根节点的编号为1，则编号为49的节点的左孩子编号为（）

A.89

B.98
C.50
D.25

答案：B

解析：

设父节点为parent，孩子节点为child，当前编号 n，我们根据二叉树的性质得：

对于偶数节点（左孩子）其父节点：parent = n / 2

对于奇数节点（右孩子）其父节点：parent = (n-1) / 2

98 为偶数，其父节点编号为 98 / 2 = 49

13.由权值分别为 9、2、5、7、4 的5个叶子结点构造一棵哈夫曼树，则该树的带权路径长度为（）

A.65
B.45
C.55

D.60

答案：D

解析：

首先我们需要构建一颗哈夫曼树：

构建方法：

对于给定的有各自权值的 n 个结点

<1>在 n 个权值中选出两个最小的权值，对应的两个结点组成一个新的二叉树，且新二叉树的根结点的权值为左右孩子权值的和
<2>在原有的 n 个权值中删除那两个最小的权值，同时将新的权值加入到 n–2 个权值的行列中，以此类推
<3>重复 1 和 2 ，直到所以的结点构建成了一棵二叉树为止，这棵树就是哈夫曼树