Gamma函数

$\Gamma$函数是阶乘的解析延拓，在概率论中非常常见，例如Gamma分布表示某个事件在某个时刻发生第$n$次的概率：Gamma分布详解

$\Gamma$函数显含在$\Gamma$分布中，其表达式可以写为

$$\Gamma (z)={\int }_0^{\infty }{t}^{z-1}e-t\text{d}t$$

当$z$为正整数时，有$\Gamma (z)=(z-1)!$，其函数图像如下

绘图代码为

import numpy as np
from scipy.special import gamma, factorial
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-3.5, 6, 2000)
y = gamma(x)
plt.plot(x, y, 'b')
plt.ylim(-100, 150)
k = np.arange(1, 7)
plt.plot(k, factorial(k-1), 'k*')
plt.grid()
plt.xlabel('x')
plt.show()

对数Gamma函数

鉴于阶乘函数发散得十分迅速，故而scipy提供了两种对数的Gamma函数，分别是gammaln和loggamma，其中后者的自变量大于0。其图像为

import scipy.special as sc
x = np.linspace(-10, 10, 2000)
plt.plot(x, sc.gammaln(x), 'b')
plt.show()

复数域的Gamma函数

$\Gamma$函数在复数域也有定义，对于$\Gamma (x+iy)$，其实部可写为

$$\Re (\Gamma (x+iy))={\int }_1^{\infty }\frac{t^{x-1}}{e^t}\cos (y\ln t)\text{d}t+\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!}[\frac{k+x}{(k+x{)}^2+y^2}]$$

其虚部可写为

$$\Im (\Gamma (x+iy))={\int }_1^{\infty }\frac{t^{x-1}}{e^t}\sin (y\ln t)\text{d}t-\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!}[\frac{y}{(k+x{)}^2+y^2}]$$

scipy中的gamma函数本身就是定义在复数域的，故而可以绘制一下复数域的$\Gamma$函数

xs = np.linspace(-5, 5, 2000)
ys = np.linspace(-5, 5, 200)
ys, xs = np.meshgrid(ys,xs)
zs = gamma(xs+1j*ys)
ax = plt.subplot(projection='3d')
ax.plot_surface(xs, ys, zs)
plt.show()

结果如下

沿着实轴看去，其实就是$\Gamma (x)$；随着$x$逐渐变大复数域上其他位置也逐渐出现了凸起。