数据分析-深度学习 Pytorch Day5

news2024/12/22 20:37:40

李宏毅《机器学习》第6讲——梯度下降

Review: 梯度下降法

在回归问题的第三步中，需要解决下面的最优化问题：

我们要找一组参数θ ，让损失函数越小越好，这个问题可以用梯度下降法解决。

假设θ有里面有两个参数θ1,θ2，随机选取初始值

然后分别计算初始点处，两个参数对L的偏微分，然后θ0减掉η乘上偏微分的值，得到一组新的参数。同理反复进行这样的计算。黄色部分为简洁的写法，▽L(θ) 即为梯度。η叫做学习率。

将梯度下降法的计算过程进行可视化

Tip1：调整学习速率

小心翼翼调整学习速率

调整学习速率

1.可视化损失函数曲线

如图左，假设从左边最高点开始，如果学习率调整的刚刚好，比如红色的线，就能顺利找到最低点。如果学习率调整的太小，比如蓝色的线，就会走的太慢，虽然这种情况给足够多的时间也可以找到最低点，实际情况可能会等不及出结果。如果学习率调整的有点大，比如绿色的线，就会在上面震荡，走不下去，永远无法到达最低点。还有可能非常大，比如黄色的线，直接就飞出去了，更新参数的时候只会发现损失函数越更新越大。

有很多参数的时候，可视化太复杂不现实。

2.可视化对损失函数的影响

如图右，将参数改变对损失函数的影响进行可视化。比如学习率太小（蓝色的线），损失函数下降的非常慢；学习率太大（绿色的线），损失函数下降很快，但马上就卡住不下降了；学习率特别大（黄色的线），损失函数就飞出去了；红色的就是差不多刚好，可以得到一个好的结果。

自适应学习率

随着次数的增加，通过一些因子来减少学习率

比如：

根据距离：通常刚开始，初始点会距离最低点比较远，所以使用大一点的学习率，update好几次参数之后呢，比较靠近最低点了，此时减少学习率

根据次数：随着次数增加减小学习率。
学习率不能是一个值通用所有特征，不同的参数需要不同的学习率

Adagrad算法

每个参数的学习率都把它除上之前微分的均方根。

Ada算法.png

σt:之前参数的所有微分的均方根，对于每个参数都是不一样的。

将Adagrad 的式子进行简化：

Ada简化.png

Adagrad的矛盾：

在Adagrad中，当梯度越大的时候，步伐应该越大，但下面分母又导致当梯度越大的时候，步伐会越小。

image

比如初始点在 x0，最低点为 −b/2a，最佳的步伐就是x0 到最低点之间的距离 |x0+b/2a|，也可以写成 | (2ax0+b)/2a |。而刚好|2ax0+b| 就是方程绝对值在 x0 这一点的微分。

这样可以认为如果算出来的微分越大，则距离最低点越远。而且最好的步伐和微分的大小成正比。所以如果踏出去的步伐和微分成正比，它可能是比较好的。

结论1-1：梯度越大，就跟最低点的距离越远。

这个结论在多个参数的时候就不一定成立了。

对比不同参数

上图左边是两个参数的损失函数，颜色代表损失函数的值。如果只考虑参数w1，就像图中蓝色的线，得到右边上图结果；如果只考虑参数w2，就像图中绿色的线，得到右边下图的结果。确实对于 a 和b，结论1-1是成立的，同理c 和b 也成立。但是如果对比

a 和c，就不成立了，c 比 a 大，但 c 距离最低点是比较近的。

所以结论1-1是在没有考虑跨参数对比的情况下，才能成立的。所以还不完善。

之前说到的最佳距离 | (2ax0+b)/2a |，还有个分母2a，对function进行二次微分刚好可以得到：

所以最好的步伐应该是：一次微分/二次微分。

Adagrad就是在不做多余运算的情况下考虑了二次微分。

Tip2：随机梯度下降法

Stochastic Gradient Descent

对比常规梯度和SGD

常规梯度下降法走一步要处理到所有二十个例子，但随机算法此时已经走了二十步（每处理一个例子就更新）。

Tip3：特征缩放

比如有个函数：

y=b+w1x1+w2x2

x1和x2的分布不同，可以通过scaling统一2个不同特征的分布。

为什么要这么做？

为什么要特征缩放

上图左边是 x1 的scale比 x2 要小很多，所以当 w1 和 w2 做同样的变化时，w1 对y 的变化影响是比较小的，x2对 y 的变化影响是比较大的。

坐标系中是两个参数的error surface（现在考虑左边蓝色），因为 w1 对 y的变化影响比较小，所以 w1 对损失函数的影响比较小，w1 对损失函数有比较小的微分，所以w1方向上是比较平滑的。同理 x2 对y 的影响比较大，所以 x2对损失函数的影响比较大，所以在 x2 方向有比较尖的峡谷。

上图右边是两个参数scaling比较接近，右边的绿色图就比较接近圆形。