[入门] Unity Shader前置知识(5) —

[入门] Unity Shader前置知识(5) —— 向量的运算

news2024/12/28 5:11:34

在Unity中，向量无处不在，我想很多人都使用过向量类的内置方法 normalized() 吧，我们都知道该方法是将其向量归一化从而作为一个方向与速度相乘，以达到角色朝任一方向移动时速度都相等的效果，但内部具体是如何将该向量进行归一化的呢，本篇我们就来揭晓这个答案。

1. 相关概念

在学习向量的运算之前，我们先要了解一些有关概念：

标量（scalar）是一个只有大小，没有方向的物理量。

向量（vector）是一个有长度，也有方向的有向线段。

向量的模（magnitude）指的这个向量的长度。一个向量的长度可以是任意的非负数。模式一个标量。

向量的方向（direction）描述了这个向量在空间的指向。

2. 向量和标量的乘法/除法

以三维向量为例，向量和标量的乘法公式如下：

$kv=(kv_{x},kv_{y},kv_{z})$

类似的，向量也可以被一个非零的标量相除，这等同于和这个标量的倒数相除：

$\frac{v}{k}=\frac{(x,y,z)}{k}=\frac{1}{k}(x,y,z)=(\frac{x}{k},\frac{y}{k},\frac{z}{k})$

下面是两个简单的例子：

$2\cdot (1,2,3)=(2,4,6)$

$\frac{(1,2,3)}{2}=(0.5,1,1.5)$

3. 向量之间的加法和减法

我们可以对两个向量进行相加或相减，其结果是一个相同维度的新向量。只需要把两个向量的对应分量进行相加或相减即可，公式如下：

$a+b=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})$

$a-b=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y},a_{z}-b_{z})$

下面是两个简单的例子：

$(1,2,3)+(4,5,6)=(5,7,9)$

$(5,2,7)-(3,8,5)=(2,-6,3)$

4. 向量的模

我们以三维向量为例，计算一个向量的模公式如下：

$|v|=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}$

我们以一个二维向量(1, 1)为例，模的计算方式如下：

$|(1,1)|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\approx 1.414$

5. 向量的归一化

向量归一化（normalized vector）是指将该向量的模变为1，模为1的向量被称为单位向量（unit vector）。对任何给定的非零向量，把它转换成单位向量的过程就被称为归一化（normalization）。

通常，我们在向量的头上添加一个带帽符号来表示单位向量，例如 $\hat{v}$ 。为了对向量进行归一化，我们可以将向量除以该向量的模来得到，公式如下：

$\hat{v}=\frac{v}{|v|}$

我们以一个二维向量(1, 1)为例，该向量归一化的计算方式如下：

$\frac{(1,1)}{|(1,1)|}=\frac{(1,1)}{\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt(2),\sqrt(2))}{2}\approx \frac{(1.4,1.4)}{2}=(0.7,0.7)$

6. 向量之间的乘法

6.1. 点积

点积（dot product）的名称来源于这个运算符号： $a\cdot b$ 。点积的公式有两种形式，我们先看第一种公式：

$a\cdot b=(a_{x},a_{y},a_{z})\cdot (b_{x},b_{y},b_{z})=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$

它还有第二个公式：

$a\cdot b=|a|\cdot |b|\cdot cos\theta$

由此公式我们可以得出：

$cos\theta=a\cdot b\div |a|\div|b|$

当a、b两个向量都为单位向量，也就是 $|a|$ 和 $|b|$ 都为1时，公式又可以简化为：

$cos\theta=\hat{a}\cdot \hat{b}$

因此：

$\theta=arcos(\hat{a}\cdot \hat{b})$

6.2. 叉积

叉积（cross product）的名称来源于它的符号： $a\times b$ ，同样这个叉号也不能省略它的计算公式为：

$a\times b=(a_{x},a_{y},a_{z})\times(b_{x},b_{y},b_{z})=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})$

我们用一张图就可以清晰的描述它的运算规律：

计算出来的向量是垂直于a、b所构成的平面的法向量。

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