Introduction to Multi-Armed Bandits——01 Scope and Motivation

参考资料

Slivkins A. Introduction to multi-armed bandits[J]. Foundations and Trends® in Machine Learning, 2019, 12(1-2): 1-286.
项目地址 https://github.com/yijunquan-afk/bandit-learning

Bandit算法学习[网站优化]偏实战，而本专栏偏理论学习。

Multi-armed bandits是一个非常简单强大的算法框架，我们接下来从三个具体的例子进行学习：

新闻网站

当一个新用户到达时，网站选取一个文章标题来显示，观察用户是否点击这个标题。该网站的目标是最大限度地提高总点击量。
动态定价

一家商店正在销售一种数字商品，例如，一个应用程序或一首歌。当一个新顾客到来时，商店选择一个提供给这个顾客的价格。顾客购买（或不购买），然后离开。商店的目标是使总利润最大化。
投资

每天早上，你选择一只股票，然后投资1美元。在这一天结束的时候，你观察每只股票的价值变化。目标是使总财富最大化。

Multi-armed bandits结合了这些例子(以及许多其他例子)。在基本版本中，一个算法有 $K$ 种可能的动作(action)可供选择，也就是臂(arm) 和T轮。在每一轮中，算法选择一只臂，并为这只臂收集奖励(reward)。奖励是独立地从某种分布中提取的，这种分布是固定的（即只取决于所选择的臂），但不为算法所知。

在基本模型中，算法在每一轮之后都会观察所选臂的奖励，但不会观察其他可能被选中的臂。因此，算法通常需要探索(explore)：尝试不同的臂以获得新的信息。需要有一个探索和利用（exploration and exploitation）之间的权衡：根据现有信息做出最佳的近期决定。这种权衡在许多应用场景中都会出现，在Multi-armed bandits中至关重要。从本质上讲，该算法努力学习哪些臂是最好的，同时不花太多的时间去探索。

一、多维问题空间

Multi-armed bandits是一个巨大的问题空间，有许多的维度。接下来我们将讨论其中的一些建模维度。

1.1 辅助反馈(Auxiliary feedback)

在每一轮之后，除了所选臂的奖励之外，算法还能得到什么反馈?算法是否观察到其他臂的奖励?下面是一些例子:

我们将反馈类型分为三类:

bandit 反馈

算法只能观察到所选臂的奖励，无法看到其他臂的。
完全反馈

算法可以观察到所有可能被选中的臂的奖励。
部分反馈

算法除了能观察到所选臂的奖励，还能观察到其他信息，但是不总是等同于完全反馈。

我们主要关注bandit反馈的问题，还涵盖了一些关于完全反馈的基本结果。部分反馈有时出现在扩展和特殊情况下，可用于提高性能。

1.2 奖励模型

奖励如何产生，有以下几种方式：

独立同分布奖励

每只臂的奖励是独立于固定分布的，这取决于臂，而不是轮次 $t$ 。
对抗性奖励

奖励可以是任意的，就好像它们是由试图愚弄算法的“对手（adversary）”选择的。对手可能无视算法的选择（oblivious），或者对算法的选择是自适应的（adaptive）。
被限制的对手

奖励是由对手选择的，该对手受到一些限制，例如，每只臂的奖励从一轮到另一轮不能有太大变化，或者每只臂的奖励最多只能变化几次，或者奖励的总变化是有上限的。
随机过程奖励

决定奖励的臂的状态，随着时间的推移，演变为一个随机过程（random process），例如马尔可夫链。在特定回合中的状态转换可能取决于算法是否选择了臂。