前情提要 R语言微积分

• 极限
• $\pi ,e,\gamma$
• 洛必达法则
• 连续性和导数
• 数值导数
• 差商与牛顿插值
• 方向导数

6 全微分

梯度的概念

对于任意函数$f(x_0,x_1,\cdots ,x_n)$，其梯度为

$$\nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x_0},\frac{\partial f}{\partial x_0},\cdots ,\frac{\partial f}{\partial x_0})$$

由于在求导过程中，常数项被置零，所以$\nabla f$必然反映出$f=0$的某些几何特征。

$z=1-x^2-y^2$对应的方程是$x^2+y^2=0$，是一个圆形，其梯度为$(-2x,-2y)$，做图如下

theta = seq(-pi,pi,0.1)
x = cos(theta)
y = sin(theta)
plot(x,y,type='l',col='red')
x1 = x*0
y1 = (x1-x)/(-2*x)*(-2*y)+y
for(i in 1:length(theta))
    lines(c(x[i],x1[i]),c(y[i],y1[i]),col='green')

可见，梯度方向对应的是图形的法线方向。对于二维平面内的曲线而言，其法线方向与切线方向垂直。

关于切线方向，我们仅知道$y=f(x)$的切线的斜率为$k=f^{\prime }(x)$，对应的方向为$(1,f^{\prime }(x))$。或者更直观地写为$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$。

而今却只知道$x,y$的隐函数表达式$f(x,y)=0$，对此可以先写出$x,y$的偏导数$f_x^{\prime }=\frac{\partial f}{\partial x},f_y^{\prime }=\frac{\partial f}{\partial y}$。

全微分

回顾偏导数的定义

$$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

这里出现一个很吊诡的问题，既然满足$f(x,y)=0$，那么$f(x,y)=0$上的任意两点的差必为0，但显然在计算$f_x^{\prime }$的过程中，并没有遵守$f(x,y)=0$这个条件，即$(x+\Delta x,y)$可能并不在曲线$f(x,y)=0$上。

若想制造出一个完全位于$f(x,y)=0$上的变化关系，则可令

$$\begin{array}{rl}\Delta f& =f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\ & =f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)+f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\end{array}$$

则当$\Delta x\to 0,\Delta y\to 0$时，

$$\begin{array}{rl}\Delta f& =f_x^{\prime }(x_0,y_0+\Delta y)\Delta x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\Delta y\\ & =f_x^{\prime }(x_0,y_0)\Delta x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\Delta y\end{array}$$

由于满足$f(x,y)=0$，所以$\Delta f=0$，且$\Delta x,\Delta y$也会受到约束，二者同时趋近于0也可以表述为$\Delta y$在满足约束$f$的情况下，随着$\Delta \to 0$而趋近于0。故上式可写为

$$\begin{gathered} f_x^{\prime }(x_0,y_0)\Delta x=-f_y^{\prime }(x_0,y_0)\Delta y \\ \downarrow \\ \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{f_x^{\prime }}{f_y^{\prime }} \\ \downarrow \\ \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=-\frac{f_x^{\prime }}{f_y^{\prime }} \end{gathered}$$

故对于$f(x,y)=0$，其切线方向为$(1,-\frac{f_x^{\prime }}{f_y^{\prime }})$。

其法线方向为$(f_x^{\prime },f_y^{\prime })$。

二者内积$(1,-\frac{f_x^{\prime }}{f_y^{\prime }})\cdot (f_x^{\prime },f_y^{\prime })\equiv 0$。从而我们证明了$f(x,y)$的梯度为$f(x,y)=0$这个曲线的法线。

而这个过程中，则得到了一种新的变化关系，即全微分，定义为

$$\text{d}f=f_x^{\prime }\text{d}x+f_y^{\prime }\text{d}y$$