部分时变离散系统中的稳定性判据

1.Lyapunov稳定性理论

下面先给出Lyapunov稳定性的一些基本理论（网上资源较多这里不再过多赘述）：

2.一类时变离散系统的稳定性

• 定理

​ 对于离散时变系统$x(k+1)=A(k)x(k)$，若${\lim }_{k\to \infty }A(k)=A$存在且$A$的特征值${\lambda }_i$满足$|{\lambda }_i|<1$，则系统$x(k+1)=A(k)x(k)$渐进稳定到$0$。

• 证明

  先引入以下引理：

  ​ 若常阵$A$特征值满足$|{\lambda }_i|<1$，则对任意的正定矩阵$Q$,都存在唯一的正定阵$P$,满足$A^{T}PA-P=-Q$。

  下面开始证明：

  ​ 若${\lim }_{k\to \infty }A(k)=A$,则令$A(k)=A+B(k)$,则有：${\lim }_{k\to \infty }B(k)=0$。有引理知$\exists 正定阵P$满足$A^{T}PA-P=-I$,其中$I$为单位阵。

  ​ 下面构造$V(k)=x(k{)}^{T}Px(k)$，则$V(k)$正定。同时有：
  $$\begin{gathered} V(k+1)=x(k+1{)}^{T}Px(k+1) \\ =x(k{)}^{T}A(k{)}^{T}PA(k)x(k) \end{gathered}$$
  ​ 令$\Delta V(k)=V(k+1)-V(k)$,得到：
  $$\begin{gathered} \Delta V(k)=V(k+1)-V(k) \\ =x(k{)}^T(A(k{)}^{T}PA(k)-P)x(k) \\ =x(k{)}^T((A+B(k){)}^{T}P(A+B(k))-P)x(k) \\ =x(k{)}^T(A^{T}PA-P+C(k))x(k) \\ =-x(k{)}^{T}x(k)+x(k{)}^{T}C(k)x(k) \end{gathered}$$
  ​ 其中:$C(k)=A^{T}PB(k)+B(k{)}^{T}PA+B(k{)}^{T}PB(k)$。有：
  $$\underset{k\to \infty }{\lim }C(k)=0$$
  ​ 此时有：${\lim }_{k\to \infty }\frac{x(k{)}^{T}C(k)x(k)}{x(k{)}^{T}x(k)}=0$，由极限的定义有：
  $$\exists k_0,当k>k_0时有|x(k{)}^{T}C(k)x(k)|<\frac{1}{2}x(k{)}^{T}x(k)$$
  ​ 因此$k>k_0$时有$\Delta V(k)=-x(k{)}^{T}x(k)+x(k{)}^{T}C(k)x(k)<-\frac{1}{2}x(k{)}^{T}x(k)$。

  ​ 故$\Delta V(k)$在$k>k_0$时负定。

  ​ 证毕。