基本线段树以及相关例题

news2025/1/16 13:58:51

1.线段树的概念

线段树是一种二叉树，也就是对于一个线段，我们会用一个二叉树来表示。

这个其实就是一个线段树，我们会将其每次从中间分开，其左孩子就是左边的集合的和，其右孩子就是右边集合的和；

我们可以用一个结构体tree去表示线段树的结点，tree.L代表线段树左边界,tree.R代表线段树的右边界； 

因此我们可以得到一个结论，对于一个节点编号为i的结点，其左孩子的编号为i*2，其右孩子编号为i*2+1；

因此我们可以得到结论：tree[i].sum=tree[i∗2].sum+tree[i∗2+1].sum；

那么首先写出我们的建树代码

//建树代码
void build(int i,int l,int r)
{
	tree[i].l=l;
	tree[i].r=r;
	if(l==r)
	{
		tree[i].sum=a[l];
		return ; 
	}
	int mid=l+r>>1;
	build(i*2,l,mid);
	build(i*2+1,mid+1,r);
//有些题目可能没有最后的加，因为那个可能只是想算叶子结点的最后的值，所以中间的可以不记录，都是0
    tree[i].sum=tree[i∗2].sum+tree[i∗2+1].sum；
}

2 .基本线段树的类型

1.单点修改，区间查询

首先是如何查询呢？

我们可以首先判断查询的是在某个规定的区间（用户输入的）吗？

int cha(int i,int l,int r)//i是编号点，l是规定的左边界，r是右边界
{
    if(tree[i].l>=l && tree[i].r<=r)//如果这个区间被完全包括在目标区间里面，直接返回这个区间的值
        return tree[i].sum;
    if(tree[i].r<l || tree[i].l>r)  return 0;//如果这个区间和目标区间毫不相干，返回0
    int s=0;
    if(tree[i*2].r>=l)  
       s+=cha(i*2,l,r);//如果这个区间的左儿子和目标区间又交集，那么搜索左儿子
    if(tree[i*2+1].l<=r)  
       s+=cha(i*2+1,l,r);//如果这个区间的右儿子和目标区间又交集，那么搜索右儿子
    return s;
}

单点修改操作

void add(int i,int dis,int k)//dis目标位置，k要加上的数值
{
	if(tree[i].l==tree[i].r)//如果找到叶子结点，就说明找到了，要在这个位置+k
	{
		tree[i].sum+=k
		return ;
	}
	if(dis<=tree[i*2].r)//当目标位置，在左孩子
	add(2*i,dis,k);
	if(dis>=tree[i*2+1].l)//当目标位置在右孩子
	add(2*i+1,dis,k);
	tree[i].sum=tree[i*2].sum+tree[i*2+1].sum;//更新区间值
	return ;
}

2.区间修改，单点查询 

区间修改：

void add(int i,int l,int r,int k)//l左边界，r右边界，k加的数值
{
	if(tree[i].l>=l&&tree[i].r<=r)//当某个区间在范围内就可以在这个地方做+k的标记
	{
		tree[i].sum+=k;
		return ;
	}
	if(tree[i*2].r>=l)//如果左孩子与目标区间有交集
	add(i*2,l,r,k);
	if(tree[i*2+1].l<=r)//右孩子与目标区间有关系
	add(i*2+1,l,r,k);
}

单点查询：

void cha(int i,int dis)//dis目标值
{
	ans+=tree[i].sum;//把路上做的标记全加上
	if(tree[i].l==tree[i].r)//如果到了叶子结点就停止
	return ;
	if(dis<=tree[i*2].r)//目标值在左孩子
	cha(i*2,dis);
	if(dis>=tree[i*2+1].l)//目标值在右孩子
	cha(i*2+1,dis);
}

 3.区间修改，区间查询

区间修改和区间查询，我们需要一个pushdown函数用于将标记可以推下去，让每一个孩子都能够加上需要加的值，我们当有一个区间符合需要加的时候，先给这个区间做一个lz标记，用于表示这个区间每个数都需要加上lz，用pushdown把标记推下去，证明每个数都需要加上这个值

pushdown函数：

void pushdown(int i)
{
    if(tree[i].lz!=0)
    {
        tree[i*2].lz+=tree[i].lz;//左右儿子分别加上父亲的lz，就是给儿子做标记
        tree[i*2+1].lz+=tree[i].lz;
        int mid=(tree[i].l+tree[i].r)>>1;
        tree[i*2].sum+=tree[i].lz*(mid-tree[i*2].l+1);//左右分别求和加起来
        tree[i*2+1].sum+=tree[i].lz*(tree[i*2+1].r-mid);
        tree[i].lz=0;//父亲lz归零
    }
    return ;
}

此时我们就是需要在区间修改函数add里面进行pushdown的调用

void add(int i,int l,int r,int k)
{
    if(tree[i].r<=r && tree[i].l>=l)//如果当前区间被完全覆盖在目标区间里，讲这个区间的sum+k*(tree[i].r-tree[i].l+1)
    {
        tree[i].sum+=k*(tree[i].r-tree[i].l+1);
        tree[i].lz+=k;//记录lazytage
        return ;
    }
    pushdown(i);//向下传递
    if(tree[i*2].r>=l)
        add(i*2,l,r,k);
    if(tree[i*2+1].l<=r)
        add(i*2+1,l,r,k);
    tree[i].sum=tree[i*2].sum+tree[i*2+1].sum;
    return ;
}

同时在区间查询cha函数里面也需要调用这个pushdown

long long cha(int i,int l,int r)
{
    if(tree[i].l>=l && tree[i].r<=r)//如果在对应的区间内就直接加上这部分的和
        return tree[i].sum;
    if(tree[i].r<l || tree[i].l>r)  //如果毫无关系，直接跳过
	return 0;
    pushdown(i);//调用
    long long s=0;
    if(tree[i*2].r>=l)  //如果左孩子和这个目标区间有交集
	s+=cha(i*2,l,r);
    if(tree[i*2+1].l<=r)  //右孩子和目标区间有交集
	s+=cha(i*2+1,l,r);
    return s;
}

3.相关例题

1.模版树状数组

题解：这题就是属于区间修改，单点查询的模版题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,m;
int t;
int flag;
int a[500005];
int ans;
struct node
{
	int l;
	int r;
	int sum;
}tree[500005*4];

void build(int i,int l,int r)
{
	tree[i].l=l;
	tree[i].r=r;
	if(l==r)
	{
		tree[i].sum=a[l];
		return ; 
	}
	int mid=l+r>>1;
	build(i*2,l,mid);
	build(i*2+1,mid+1,r);
}

void add(int i,int l,int r,int k)
{
	if(tree[i].l>=l&&tree[i].r<=r)
	{
		tree[i].sum+=k;
		return ;
	}
	if(tree[i*2].r>=l)
	add(i*2,l,r,k);
	if(tree[i*2+1].l<=r)
	add(i*2+1,l,r,k);
}

void cha(int i,int dis)
{
	ans+=tree[i].sum;
	if(tree[i].l==tree[i].r)
	return ;
	if(dis<=tree[i*2].r)
	cha(i*2,dis);
	if(dis>=tree[i*2+1].l)
	cha(i*2+1,dis);
}

int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	build(1,1,n);
	while(m--)
	{
		cin>>flag;
		if(flag==1)
		{
			int x,y,z;
			cin>>x>>y>>z;
			add(1,x,y,z);
		}
		else
		{
			ans=0;
			int x;
			cin>>x;
			cha(1,x);
			printf("%d\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}

2.模版线段树1

题解：如果这题用区间修改，单点查询再累加，那么时间会超限的（！！！！！！！）

因此我们要用区间修改，区间查询（一开始没学这个就写了，所以以后一定要先学完，再去尝试写，害我TLE了一次）

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,m;
int flag;
long long ans=0;
long long a[100005];
struct node
{
	int l;
	int r;
	long long sum;
	long long lz;
}tree[500005];


void build(int i,int l,int r)
{
	tree[i].l=l;
	tree[i].r=r;
	if(l==r)
	{
		tree[i].sum=a[l];
		return ;
	}
	int mid=l+r>>1;
	build(i*2,l,mid);
	build(i*2+1,mid+1,r);
	tree[i].sum = tree[i * 2].sum + tree[i * 2 + 1].sum;
}
 
 void pushdown(int i)
{
    if(tree[i].lz!=0)
    {
        tree[i*2].lz+=tree[i].lz;//左右儿子分别加上父亲的lz
        tree[i*2+1].lz+=tree[i].lz;
        int mid=(tree[i].l+tree[i].r)>>1;
        tree[i*2].sum+=tree[i].lz*(mid-tree[i*2].l+1);//左右分别求和加起来
        tree[i*2+1].sum+=tree[i].lz*(tree[i*2+1].r-mid);
        tree[i].lz=0;//父亲lz归零
    }
    return ;
}
 
void add(int i,int l,int r,int k)
{
    if(tree[i].r<=r && tree[i].l>=l)//如果当前区间被完全覆盖在目标区间里，讲这个区间的sum+k*(tree[i].r-tree[i].l+1)
    {
        tree[i].sum+=k*(tree[i].r-tree[i].l+1);
        tree[i].lz+=k;//记录lazytage
        return ;
    }
    pushdown(i);//向下传递
    if(tree[i*2].r>=l)
        add(i*2,l,r,k);
    if(tree[i*2+1].l<=r)
        add(i*2+1,l,r,k);
    tree[i].sum=tree[i*2].sum+tree[i*2+1].sum;
    return ;
}



long long cha(int i,int l,int r)
{
    if(tree[i].l>=l && tree[i].r<=r)
        return tree[i].sum;
    if(tree[i].r<l || tree[i].l>r)  
	return 0;
    pushdown(i);
    long long s=0;
    if(tree[i*2].r>=l)  
	s+=cha(i*2,l,r);
    if(tree[i*2+1].l<=r)  
	s+=cha(i*2+1,l,r);
    return s;
}

int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	build(1,1,n);
	while(m--)
	{
		cin>>flag;
		if(flag==1)
		{
			long long x,y,z;
			cin>>x>>y>>z;
			add(1,x,y,z);
		}
		else
		{
			ans=0;
			long long x,y;
			cin>>x>>y;
			ans=cha(1,x,y);
			printf("%lld\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}

3.A Simple Problem with Integers

题解：一样是区间修改区间查询，纯纯水题一个，实在不会看第二题

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,m;
char flag;
long long ans=0;
long long a[100005];
struct node
{
	int l;
	int r;
	long long sum;
	long long lz;
}tree[500005];


void build(int i,int l,int r)
{
	tree[i].l=l;
	tree[i].r=r;
	if(l==r)
	{
		tree[i].sum=a[l];
		return ;
	}
	int mid=l+r>>1;
	build(i*2,l,mid);
	build(i*2+1,mid+1,r);
	tree[i].sum = tree[i * 2].sum + tree[i * 2 + 1].sum;
}
 
void pushdown(int i)
{
    if(tree[i].lz!=0)
    {
        tree[i*2].lz+=tree[i].lz;//左右儿子分别加上父亲的lz
        tree[i*2+1].lz+=tree[i].lz;
        int mid=(tree[i].l+tree[i].r)>>1;
        tree[i*2].sum+=tree[i].lz*(mid-tree[i*2].l+1);//左右分别求和加起来
        tree[i*2+1].sum+=tree[i].lz*(tree[i*2+1].r-mid);
        tree[i].lz=0;//父亲lz归零
    }
    return ;
}
 
void add(int i,int l,int r,int k)
{
    if(tree[i].r<=r && tree[i].l>=l)//如果当前区间被完全覆盖在目标区间里，讲这个区间的sum+k*(tree[i].r-tree[i].l+1)
    {
        tree[i].sum+=k*(tree[i].r-tree[i].l+1);
        tree[i].lz+=k;//记录lazytage
        return ;
    }
    pushdown(i);//向下传递
    if(tree[i*2].r>=l)
        add(i*2,l,r,k);
    if(tree[i*2+1].l<=r)
        add(i*2+1,l,r,k);
    tree[i].sum=tree[i*2].sum+tree[i*2+1].sum;
    return ;
}



long long cha(int i,int l,int r)
{
    if(tree[i].l>=l && tree[i].r<=r)
        return tree[i].sum;
    if(tree[i].r<l || tree[i].l>r)  
	return 0;
    pushdown(i);
    long long s=0;
    if(tree[i*2].r>=l)  
	s+=cha(i*2,l,r);
    if(tree[i*2+1].l<=r)  
	s+=cha(i*2+1,l,r);
    return s;
}

int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	build(1,1,n);
	while(m--)
	{
		cin>>flag;
		if(flag=='C')
		{
			long long x,y,z;
			cin>>x>>y>>z;
			add(1,x,y,z);
		}
		else
		{
			ans=0;
			long long x,y;
			cin>>x>>y;
			ans=cha(1,x,y);
			printf("%lld\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}

 

 

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