背包问题
介绍
将有限物品按找最大价值装进有限体积的背包中去
核心步骤
1.确定状态表示
2.确定边界和遍历顺序
3.找到状态转移方程
先上 Coding
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 300;
int itemSize[N]; //每件物品的大小（体积）
int itemValue[N]; //每件物品的价值
int dp[N][N]; //状态表示数组（[物品序号][背包大小]）
int m, n; //m为背包体积 n为物品数量
int main() {
cin >> m >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> itemSize[i] >> itemValue[i];
//依次输入每一件物品的体积和价值
}
for (int i = 1; i <= n; i++) { //n物品数量
for (int j = 1; j <= m; j++) { //m为背包体积
if (itemSize[i] <= j) {
//物品体积比j（背包容量）小，可以放进背包，取放和不妨两种情况价值Value的最大值
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-itemSize[i]] + itemValue[i]);
}
else {
//放不进去的情况
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
}
cout << "dp数组:" << endl;
for (int i = 0; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j <= m; j++) {
cout << dp[i][j] << ' ';
}cout << endl;
}
}
手动遍历的结果
思路
- 首先遍历每一个物品
- 对每一个物品，遍历背包的大小
对于每一种物品都有两种情况
- 当前所遍历的
背包大小放得下 - 当前所遍历的
背包大小放不下注意这里的背包指的是我们分解出来的子状态中的，是对于每一个物品，从
0 ~ m（背包的大小），遍历了m+1个背包中的任意一种。
状态表示
dp[i][j]
i：表示从第1个物品到i个物品这个范围j：表示背包大小的一种可能性
边界
满足
i==0 && j==0设置为 0
遍历顺序
遍历
1~n个物品，对每个物品遍历背包大小
状态转移方程
-
如果拿不下
dp[i][j] = dp[i-1][j]
-
如果拿得下
dp[i][j] = max(dp[ i - 1 ][ j ], dp[ i - 1 ] j-size[i]] + value[i])
解释一下这个转移方程中 max 内的两个参数:
dp[i-1][j]表示这个除去这个物品(第 i 位物品)以外的0 ~ i-1个物品，也就是拿得下，但是你就是不拿这个物品的情况dp[i-1][j - size[i]] + value[i]：这个式子由两个式子相加得来，左边的i-1依旧表示这个物品不拿，0 ~ i-1个物品的情况，j - size[i]表示拿了这个物品之后，剔除这个物品的背包大小的最优解，value[i]就表示这个物品的价值
剥离出来就是
dp[i-1][j]：除去这个物品，对应背包大小的最优解j - size[i]：剔除这个物品的背包大小的最优解value[i]：这个物品的价值
