目标和

力扣原题

问题描述

给定一个正整数数组 nums 和一个整数 target，向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-’，然后串联起所有整数，可以构造一个表达式。返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同表达式的数目。

示例

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：

输入：nums = [1], target = 1
输出：1

分析

这是一个典型的动态规划问题。我们需要通过添加 ‘+’ 或 ‘-’ 来构造表达式，使得表达式的结果等于 target。可以将问题转化为两部分：一部分是使用 ‘+’ 号的数的和，另一部分是使用 ‘-’ 号的数的和。

思考：将使用+号的正数的一堆之和 减去 使用-号的负数的绝对值一堆之和不就是target嘛，就和”最后一块石头“分成两堆相减的思路一样

那么我们就可以将其中一堆定义成一个一维动态规划数组 dp，其中 dp[i] 表示总和为 i 的表达式的数目。

状态定义

定义一个一维动态规划数组 dp，其中 dp[i] 表示总和为 i 的表达式的数目。

状态转移方程 (有多少种方法的递推公式）

对于每一个数字 nums[i]，我们有两种选择：使用 ‘+’ 号或者使用 ‘-’ 号（抽象为选和不选）。因此状态转移方程为：

dp[i] += dp[i - nums[j]];

初始化

我们需要对动态规划数组进行初始化。初始时，总和为 0 的表达式有 1 种方法，其余为 0。
（如果初始化为0 ，则递推推导出来的全是0 了）

Java解题

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        // 计算数组的总和
        int sum = 0 ;
        for (int a : nums){
            sum += a;
        }
        // 计算目标和的边界值
        int n = (sum + target)/2;
        // 如果目标和的边界值不为整数，则无法得到目标和，返回 0
        if ((sum + target) % 2 !=0){
            return 0;
        }
        // 初始化动态规划数组
        int[] dp =  new int[n +1];
        dp[0] = 1; // 初始时，总和为 0 的表达式有 1 种方法
        // 遍历数组，更新动态规划数组
        for ( int i =0; i< nums.length;i++){//遍历物品
            for (int j = n;j >=nums[i]; j--){//遍历背包，！注意倒序和等号！
                dp [j] += dp[j-nums[i]]; // 有多少种方法的递推公式
            }
        }
        // 返回总和为目标和的表达式的数目
        return dp[n];
    }
}

总结

通过动态规划的思想，我们可以解决这个问题。首先计算数组的总和，然后根据状态转移方程进行状态转移，最终返回总和为 target 的表达式的数目。