黄小宁
与x∈R相异（等）的实数均可表为y=x+δ（增量δ可=0也可≠0）。因各实数的绝对值都可是表示长度的数故各实数都可是一维空间“管道”g内点的坐标。于是x∈R变换为实数y=x+δ的几何意义可是：“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)运动到新的位置x+δ=y还在管道g内即实数的改变可几何化为g内质点的位置的改变。R可几何化为R轴, R各数x可几何化为R轴各点，两变数可几何化为g内两动点。R各元x不保距变为y=2x组成元为y的数集的几何意义是：R轴即x轴各元点x沿管道g不保距平移变为点x+δ=y=2x生成元为点y的y=2x轴即x轴拉伸（放大）变换为y=2x轴（不≌x轴）叠压在x轴上（y=2x轴可压缩变换为x轴）。中学数学认定y轴=x轴（自有函数概念几百年来数学一直有函数“常识”：R各元x的对应2x的全体是R），因有直线公理。其实这是违反几何最起码常识的肉眼直观错觉。两直线互不≌就更不相等。
复平面z均匀伸展（放大）变换为2z面不≌z面从而更≠z面。然而平面公理使世人一直误以为z面=2z面。详论见已公开发表的论文《中学数学重大错误：将N外自然数误为N内数》http://www.360doc.com/content/23/0324/02/70996036_1073349758.shtml