• 非数学专业学生因科研需要，补充一些数分与拓扑学中的常用概念。有不准确的地方欢迎大家指正。

开集 open set 与闭集 closed set

• 内点 interior point：$C$是某个集合。如果$x\in C$并且$\exists ϵ>0$使得 { y : ∣ ∣ x − y ∣ ∣ ≤ ϵ } ⊆ C \{y:||x-y||\le \epsilon\}\subseteq C {y:∣∣x−y∣∣≤ϵ}⊆C，那么称$x$是集合$C$的内点。通俗点说，$x\in C$并且$x$的邻域范围内的点也在$C$内，那么$x$就是内点。
• 开集 open set：集合内的点都是内点的集合称为开集。
• 闭集 closed set：补集是开集的集合是闭集。（通过求补的方式定义，也是数学中的常见定义方式）
• 闭集有多种理解和判断方式：包含所有边界点的集合是闭集。
• 开集的定义是严格的，因此判断闭集时可以转为判断其补集是否是开集。存在集合既不是开集也不是闭集，包含部分边界点的集合既不是开集也不是闭集。比如集合$(0,1]$其补集$[0,1)$不满足所有点都是内点的条件（0处邻域上的点不属于$[0,1)$）故该集合与其补集既不是开集也不是闭集。
• 下图中左边是闭集（边界全部在集合里），右边是开集（边界全部不在集合里）。
  

紧集 compact set

• 开覆盖 open covering：一组开集取并之后能够将集合$S$完全覆盖，则称这一组开集为集合$S$的开覆盖。开覆盖中开集的个数可以是有限个可以是无限个。
• 有限子覆盖 finite subcovering：集合$S$的某个开覆盖中挑选其中有限个开集也构成一组开覆盖，那么称之为有限子覆盖。
• 紧集 compact set：集合$S$的任意开覆盖都存在一个有限子覆盖，那么称该集合为一个紧集。
• 从定义出发证明一个集合是紧集比较复杂，需要考虑该集合所有开覆盖的可能形式，并分别为其找到有限子覆盖。从定义出发证明一个集合不是紧集的方法是举反例，即找到一个特殊的开覆盖，证明其不存在有限子覆盖。\
• 下图中$T_1,T_2,T_3,T_4,T_5,T_6$便是集合$S$的一组开覆盖，并且还是个有限的开覆盖。
  

集合有界 bounded set

• 有界 bounded：如果存在一个有限大小的邻域半径$M$，使得原点处的以$M$为半径的邻域能够包裹住集合$S$，那么称集合$S$就是有界的。
• 左图中，集合$S$可以被以原点为中心的邻域包裹，因此集合$S$是有界的；有图中表示的是第一象限的所有点构成的集合，无法被以原点为中心的有限大小的邻域包裹，因此该集合无界。
  

度量空间 metric space

• 度量空间$(X,d)$包括集合$X$和对应的度量函数$d:X\times X\to \mathbb{R}$，同时度量函数要满足以下四个公理：
  • 非负性：$\forall x,y\in X,d(x,y)\ge 0$
  • 非退化性：$x,y\in X,d(x,y)=0\iff x=y$
  • 对称性：$\forall x,y\in X,d(x,y)=d(y,x)$
  • 三角不等式：$\forall x,y,z\in X,d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$
• 举例说明：集合$X$是所有整数，度量规定为$d(x,y)=|x-y|$，显然符合上述四条公理，因此$(X,d)$构成一组度量空间。简单来说，度量空间就是元素两两之间能够计算距离的集合，而距离有很多种定义方式，但必须满足上述四条公理。

欧式空间 euclidean space

• 欧氏空间 euclidean space：由$n$维实数向量构成的空间称为欧式空间，记为${\mathbb{R}}^n$。欧式空间与度量$d(x,y)=\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$构成一个度量空间$({\mathbb{R}}^n,d)$。
• 对于欧式空间中的任意两个向量$x,y\in {\mathbb{R}}^n$有如下关系：
  • $x=y$当且仅当$x_i=y_i,\forall i$
  • $x\ge y$当且仅当$x_i\ge y_i,\forall i$
  • $x>y$当且仅当$x\ge y$且存在某个$j,x_j>y_j$
  • $x\gg y$当且仅当$x_i>y_i,\forall i$
• 邻域 neighborhood：邻域定义在度量空间中。对于$x\in {\mathbb{R}}^n,ϵ\in \mathbb{R}$，点$x$的$ϵ$-邻域/$ϵ$-开球定义为 B ϵ ( x ) = { y ∈ R n ∣ d ( x , y ) < ϵ } B_{\epsilon}(x)=\{y\in \mathbb{R}^n|d(x,y)<\epsilon\} Bϵ​(x)={y∈Rn∣d(x,y)<ϵ}。

闭包 closure

• 聚点 accumulation point：$x\in A$，点$x$的任意大小的邻域都包含除点$x$以外的其他属于集合$A$中的点，那么称点$x$为聚点。
• 孤立点 isolated point：$x\in A$，点$x$存在某个邻域其中除了点$x$自身以外不包含任何集合$A$中的点，那么称点$x$为孤立点。
• 接触点=聚点+孤立点。闭包定义为接触点的全体。
• 下图中集合 D = E + { a } D=E+\{a\} D=E+{a}。点$a$存在半径很小的领域与集合$D$只相交于点$a$，因此点$a$是孤立点；点$x$的任意半径大小的邻域与集合$D$相交都不止点$x$自身，因此点$x$是聚点。
  

上包络 upper envelope、下包络 lower envelope

• 一个曲线族中的曲线同时画在坐标系中，取每个点的上确界构成了该函数族的上包络曲线，取每个点的下确界构成了该函数族的下包络曲线。

上极限 limit superior、下极限 limit inferior

• 上极限与下极限的符号表达是$\lim \inf ,\lim \sup$。这两个概念对于实值序列以及实值函数有着不同的含义。
• 对于实值序列
  $$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{x}_n:=\underset{n\to \infty }{\lim }(\underset{m\ge n}{\inf }{x}_m) \\ \underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{x}_n:=\underset{n\to \infty }{\lim }(\underset{m\ge n}{\sup }{x}_m) \end{gathered}$$
  即序列 { x n } \{x_n\} {xn​}的上极限是指$n\to \infty$下的上确界，下极限是指$n\to \infty$下的下确界。
• 对于实值函数
  lim sup ⁡ x → a f ( x ) = lim ⁡ ϵ → 0 ( sup ⁡ { f ( x ) : x ∈ E ∩ B ( a ; ϵ ) \ { a } } ) lim inf ⁡ x → a f ( x ) = lim ⁡ ϵ → 0 ( inf ⁡ { f ( x ) : x ∈ E ∩ B ( a ; ϵ ) \ { a } } ) \limsup_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}(\sup \{f(x):x\in E\cap B(a;\epsilon)\backslash\{a\}\})\\ \liminf_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}(\inf \{f(x):x\in E\cap B(a;\epsilon)\backslash\{a\}\})\\ x→alimsup​f(x)=ϵ→0lim​(sup{f(x):x∈E∩B(a;ϵ)\{a}})x→aliminf​f(x)=ϵ→0lim​(inf{f(x):x∈E∩B(a;ϵ)\{a}})
  即实值函数$f(x)$在$a$处的上极限是$a$尽可能小的邻域内（与定义域的交集）的上确界，在$a$处的下极限是$a$尽可能小的邻域内（与定义域的交集）的下确界。
• 总之，上、下极限指的就是极限状态下的上确界与下确界，只不过不同情况下极限的定义不同，序列的极限可能是最终值，函数的极限可能是自变量逼近某个值的值。

左连续、右连续、上半连续 upper semi-continuous、下半连续

• 半连续性是数学分析领域中比连续性更弱的一种概念。如果一个函数既是上半连续的又是下半连续的，那么该函数是连续的，反之亦然。
• 上半连续与下半连续的图像如下图所示。如果某个函数在每个点都是上/下半连续的，那么该函数就是上/下半连续的。
  
• 函数$f(x)$在$x_0$处上/下半连续可以用上/下极限来表示：
  $$\begin{gathered} \text{上半连续：}\underset{x\to x_0}{\mathrm{limsup}}f(x)\le f(x_0) \\ \text{下半连续：}\underset{x\to x_0}{\mathrm{liminf}}f(x)\ge f(x_0) \end{gathered}$$