前言

羊了，但是依旧生龙活虎。补补之前落下的SGD算法，这个在深度学习中应用广泛。

梯度（Gradient）

方向导数

在梯度之前，非常重要一个概念：方向导数，这里$u$是$n$维向量，代表一个方向，通过极限的方式定义函数$f$在方向$u$上的导数，或者说增长率：

当$u$是标准（正交）单位向量$i$时（坐标轴方向），方向导数退化为偏导数：$${\nabla }_{u}f(x)=f_i^{\prime }(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}$$

任意一个方向导数可以用单位向量的线性组合表示：

证明：

这是一个构造性证明，而且由于$f_i^{\prime }(x)$之间线性无关，$u_i$应是唯一的。中间用到的高维链式求导法则，其实一定程度上隐含了这种分解性，换而言之，利用偏导的分解性推导出更为一般的方向导数的分解性质。

梯度定义

梯度就是函数对所有单位向量求偏导构成的向量（方向），代表函数$f$在定义空间$R^n$中的“增长率”。利用方向导数的定义，以及前面的定理，得$${\nabla }_{u}f(x)=\nabla f(x)\cdot u=||\nabla f(x)|||u||cos\alpha$$
$\alpha$是${\nabla }_{u}f(x)$和$u$的夹角。
不妨设$u$是单位向量，化简得到方向导数和梯度之间的关系：
$${\nabla }_{u}f(x)=||\nabla f(x)||cos\alpha$$
当$u=\nabla f(x)$时，$\alpha =0$，得到了最大的方向导数，这意味着，梯度是函数变化最剧烈的方向，是定义在空间$R^n$中的“增长率”。

梯度下降算法（Gradient Desent Algorithm）

算法思想
如果多元函数$J(\theta )$在点$\theta$的邻域内可微，则$\theta$向梯度反方向变化，$J(\theta )$下降得最快。可以通过梯度下降找到函数的局部最小点。

这里，$\theta$通常随机初始化，$\alpha$是学习率。通常的收敛准则为梯度大小小于预定义阈值（这通常意味着已经收敛到一个较平缓的的区域——极值点处）或者达到设置的最大迭代轮数。

如何计算梯度？
其实，和算偏导一样，只不过逐一对每个变量效率太低了，因而归纳一类变量的特征，进行求导，也就是向量求导、矩阵求导。

eg.线性回归函数：

学习率
每次迭代朝梯度反方向的移动步长。
学习率越大，收敛越快，但过大会导致无法收敛，可能达到目标只需要一小步，迈大步怎么也无法到达目标；
学习率过小，收敛速度过大，影响模型效率；
因此调一个合适的学习率参数很必要。

随机梯度下降算法（Stochastic Gradient Descent）

GD在训练集过于庞大时，会产生巨大的计算成本！

如较为简单的线性回归，梯度计算量和训练集大小$m$是线性关系。巨额的计算只为移动一小步，这似乎是很不划算的，因此有了随机梯度下降。SGD中参数仅依据一个训练样本进行更新，而不是整个数据集！更新$m$次！而随机，是指更新选择的样本顺序在每轮迭代中是随机生成。

SGD在深度学习中的应用

SGD在神经网络中担任优化器的角色，The Optimizer，实际上几乎所有深度学习的优化算法属于SGD一族，遵循以下运作模式：

batch & epoch

每轮迭代使用的训练样本称为一个批处理，batch；完整使用一遍训练集称为一个epoch，通常epoch大小代表一个sample会进入网络的次数。

learning rate & batch size

SGD的两个重要参数，它们之间的相互作用是微妙的。但实际上多数情况下，我们不需要调参。Adam是一种具有自适应学习率的SGD算法，无需任何参数调优，可以“自调优”。

以上是在Kaggle平台的深度学习入门课程的第三讲部分内容（Stochastic Gradient Descent），并为深入进行讨论，下面是基于Keras的简单神经网络实现以及训练：

构建网络：

from tensorflow import keras
from tensorflow.keras import layers

model = keras.Sequential([
    layers.Dense(512, activation='relu', input_shape=[11]),
    layers.Dense(512, activation='relu'),
    layers.Dense(512, activation='relu'),
    layers.Dense(1),
])

设置Optimizer和loss function：

model.compile(
    optimizer='adam',
    loss='mae',
)

训练：

history = model.fit(
    X_train, y_train,
    validation_data=(X_valid, y_valid),
    batch_size=256,
    epochs=10,
)