智能优化算法：协作搜索算法

摘要：协作搜索算法( Cooperation search algorithm ，CSA)是 Zhong-kai Feng等 于 2021 年提出的一种新型元启发式优化算法 。 该算法受现代企业团队协作行为的启发，具有寻优能力强，收敛速度快的特点。

1.协作搜索算法

协作搜索算法主要包括4个阶段：团队建立，团队沟通，反思学习，内部竞争。

1.1 团队建立

在这一阶段，团队中的所有员工都是通过式(1)随机生成的。在评估所有解决方案的性能后，将从初始群中选择 $\mathrm{M}\in [1,\mathrm{I}]$ 个领导者，以 形成外部精英集。
$${\mathrm{x}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}=\varphi \left({\underline{\mathrm{x}}}_{\mathrm{j}},{\overline{\mathrm{x}}}_{\mathrm{j}}\right),\mathrm{i}\in [1,\mathrm{I}],\mathrm{j}\in [1,\mathrm{J}],\mathrm{k}=1\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中， I是当前种群的解数量; ${\mathrm{x}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}$ 是第 $\mathrm{k}$ 次迭代中第 $\mathrm{i}$ 个个体的第 $\mathrm{j}$ 个位置; $\varphi (\mathrm{L},\mathrm{U})$ 是在 $[\mathrm{L},\mathrm{U}]$ 范围内 生成均匀分布的随机数的函数。

1.2 团队沟通

每位员工都可以通过与董事长、董事会和监事会的领导交流信息来获得新的信息。如式(2)所示，团队 沟通过程包括三个部分: 董事长的知识 $A$ 、董事会的集体知识 $\mathrm{B}$ 和监事会的集体知识 $\mathrm{C}$ 。董事长从董 事会中随机选出，模批轮换饥制，而董事会和监事会的所有成员在计算B和 $\mathrm{C}$ 时被赋予相同的职位。
$${\mathrm{u}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}={\mathrm{x}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}+{\mathrm{A}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}+{\mathrm{B}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}+{\mathrm{C}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}},\mathrm{i}\in [1,\mathrm{I}],\mathrm{j}\in [1,\mathrm{J}],\mathrm{k}\in [1,\mathrm{K}]\text{\hspace{1em}(2)}$$

$${\mathrm{A}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}=\log (1/\varphi (0,1))\cdot \left({\mathrm{gBest}}_{\text{ind },\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}\right)\text{\hspace{1em}(3)}$$

$${\mathrm{B}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}=\alpha \cdot \varphi (0,1)\cdot \left[\frac{1}{\mathrm{M}}\sum _{\mathrm{m}=1}^{\mathrm{M}}{\mathrm{gBest}}_{\mathrm{m},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$

$${\mathrm{C}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}=\beta \cdot \varphi (0,1)\cdot \left[\frac{1}{\mathrm{I}}\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{I}}{\mathrm{pBest}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}\right]\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中， ${\mathrm{u}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}$ 是第 $\mathrm{k}+1$ 次迭代中第 $\mathrm{i}$ 个个体的第 $\mathrm{j}$ 个值； ${\mathrm{pBest}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}$ 是第 $\mathrm{k}$ 代第 $\mathrm{i}$ 个个体最优解的第 $\mathrm{j}$ 个值； 择的索引; ${\mathrm{A}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}$ 表示从外部精英集中随机选择的主席获得的知识; ${\mathrm{B}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}$ 和 ${\mathrm{C}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}$ 分别是从迄今为止发现的 $\mathrm{M}$ 个全局最优解和 $\mathrm{I}$ 个个体最优解中获得的平均知识； $\alpha$ 和 $\beta$ 是调整 ${\mathrm{B}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}$ 和 ${\mathrm{C}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}}$ 影响程度的学习系数。

1.3 反思学习

除了向领导者学习外，员工还可以通过总结自己在相反方向上的经验来获得新知识，具体表达如下：
$${\mathrm{v}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{r}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}& \text{ if }\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}\ge {\mathrm{c}}_{\mathrm{j}}\right)\\ {\mathrm{p}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}& \text{ if }\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}<{\mathrm{c}}_{\mathrm{j}}\right)\end{array},\mathrm{i}\in [1,\mathrm{I}],\mathrm{j}\in [1,\mathrm{J}],\mathrm{k}\in [1,\mathrm{K}]\text{\hspace{1em}(6)}$$

$${\mathrm{r}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}=\{\begin{array}{ll}\varphi \left({\overline{\mathrm{x}}}_{\mathrm{j}}+{\underline{x}}_{\mathrm{j}}-{\mathrm{u}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1},{\mathrm{c}}_{\mathrm{j}}\right)& \text{ if }\left(\left|{\mathrm{u}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}-{\mathrm{c}}_{\mathrm{j}}\right|<\varphi (0,1)\cdot \left|{\overline{\mathrm{x}}}_{\mathrm{j}}-{\underline{\mathrm{x}}}_{\mathrm{j}}\right|\right)\\ \varphi \left({\underline{x}}_{\mathrm{j}},{\overline{\mathrm{x}}}_{\mathrm{j}}+{\underline{\mathrm{x}}}_{\mathrm{j}}-{\mathrm{u}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}\right)& \text{ otherwise }\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

$${\mathrm{p}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}=\{\begin{array}{ll}\varphi \left({\mathrm{c}}_{\mathrm{j}},{\overline{\mathrm{x}}}_{\mathrm{j}}+{\underline{x}}_{\mathrm{j}}-{\mathrm{u}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}\right)& \text{ if }\left(\left|{\mathrm{u}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}-{\mathrm{c}}_{\mathrm{j}}\right|<\varphi (0,1)\cdot \left|{\overline{\mathrm{x}}}_{\mathrm{j}}-{\underline{\mathrm{x}}}_{\mathrm{j}}\right|\right)\\ \varphi \left({\overline{\mathrm{x}}}_{\mathrm{j}}+{\underline{x}}_{\mathrm{j}}-{\mathrm{u}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1},{\overline{\mathrm{x}}}_{\mathrm{j}}\right)& \text{ otherwise }\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$

$${\mathrm{c}}_{\mathrm{j}}=\left({\overline{\mathrm{x}}}_{\mathrm{j}}+{\mathrm{x}}_{\mathrm{j}}\right)\cdot 0.5\text{\hspace{1em}(9)}$$

1.4 内部竞争

团队通过确保所有表现较好的员工都能得到保护，逐步提升其市场竞争力，具体表示如下：
$${\mathrm{x}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{u}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}& \text{ if }\left(\mathrm{F}\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}\right)\le \mathrm{F}\left({\mathrm{v}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}\right)\right)\\ {\mathrm{v}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}& \text{ if }\left(\mathrm{F}\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}\right)>\mathrm{F}\left({\mathrm{v}}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{k}+1}\right)\right)\end{array},\mathrm{i}\in [1,\mathrm{I}],\mathrm{j}\in [1,\mathrm{J}],\mathrm{k}\in [1,\mathrm{K}]$$
其中， $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ 是解 $\mathrm{x}$ 的适应度值。为了有效地多重物理约束，首先通过式(11)将 $\mathrm{x}$ 中的所有变量修改为 可行区域，然后使用式(12)中的征罚函数方法，通过将约束违反值合并到目标值 $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ 中来获得适应度 值 $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ 。然后，对于可行解，充分满足所有约束，使适应度值等于原始目标值；对于不可行解，约 束冲突值变为正值，因此适应度值大于目标值。这样，就可以将种群引导到尽可能多的可行搜索区域。
x j = max ⁡ { min ⁡ { x ‾ j , x j } , x ‾ j } (11) \mathrm{x}_{\mathrm{j}}=\max \left\{\min \left\{\overline{\mathrm{x}}_{\mathrm{j}}, \mathrm{x}_{\mathrm{j}}\right\}, \underline{x}_{\mathrm{j}}\right\} \tag{11} xj​=max{min{xj​,xj​},x​j​}(11)

F ( x ) = f ( x ) + ∑ e = 1 E c e 1 ⋅ max ⁡ { g e ( x ) , 0 } + ∑ f = 1 F c f 2 ⋅ ∣ h f ( x ) ∣ (12) \mathrm{F}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+\sum_{\mathrm{e}=1}^{\mathrm{E}} \mathrm{c}_{\mathrm{e}}^1 \cdot \max \left\{\mathrm{g}_{\mathrm{e}}(\mathrm{x}), 0\right\}+\sum_{\mathrm{f}=1}^{\mathrm{F}} \mathrm{c}_{\mathrm{f}}^2 \cdot\left|\mathrm{h}_{\mathrm{f}}(\mathrm{x})\right| \tag{12} F(x)=f(x)+e=1∑E​ce1​⋅max{ge​(x),0}+f=1∑F​cf2​⋅∣hf​(x)∣(12)

其中， $x_j$ 是解 $x$ 中的第 $j$ 个值； $c_e^1$ 是第 $\mathrm{e}$ 个不等式约束的惩罚系数； $c_{\mathrm{f}}^2$ 是第 $\mathrm{f}$ 个不等式约束的惩罚系数。

2.实验结果

3.参考文献

[1] Zhong-kai Feng, Wen-jing Niu, Shuai Liu. Cooperation search algorithm: A novel metaheuristic evolutionary intelligence algorithm for numerical optimization and engineering optimization problems[J]. Applied Soft Computing Journal, 2021, 98: 106734.

4.Matlab

5.Python