相量图和相量代数

1、概述

交流电信号可以用三种不同的方法来表示，以便表征和实现代数运算。 前面的文章中已经介绍了两种方法，本文稍后将介绍一种新的图形方法。

最简单和自然的方法是将交流信号 $y(t)$ 写为时间的正弦函数，如正弦波形教程中所述：

等式1：交流信号的自然表示

$A$ 为振幅，$2\pi f=\omega$ 为角速度，$f$ 为频率，$\varphi$为瞬时相位。

然而，这种表示法不方便实现两个或多个相同频率的交流信号的代数，因为没有通用的三角公式$A\sin (X)+B\sin (Y)$来将结果写成等式1所示的形式。

在复数文章中，我们已经看到 $y(t)$ 可以重写为复数。 编写正弦波形的第二种方法简化了交流信号之间的代数。

等式2：交流信号的复杂表示

事实上，我们想将两个信号 $y_1(t)$ 和 $y_2(t)$ 相加，它们各自的参数为 $A_1$、$A_2$、${\varphi }_1$、${\varphi }_2$ 和 ${\omega }_1={\omega }_2$。 使用复数形式，项 $e^{j\omega t}$可以作为公因子：

等式3：两个复杂的交流信号相加

$A_3$ 和 ${\varphi }_3$ 取决于 $A_1$、$A_2$、${\varphi }_1$、${\varphi }_2$，即所得信号 $y_3(t)$ 的新参数幅度和瞬时相位。

在本文中，我们将介绍正弦波形的一种新的图形表示形式，称为相量表示形式。 第一部分将介绍这个新概念并阐明它的来源。

本文的核心，我们将重点关注相量的代数：如何实现加法/减法和微分/积分。 将会强调为什么这种表示使交流信号的代数变得更加方便。

2、相量图

相量的概念来自于交流信号的复杂表示。 从等式2 中，我们确实可以将指数项分为两部分：$A{e}^{j\omega t+\varphi }=A{e}^{j\omega t}{e}^{j\varphi }$。 我们将相量称为量 $A{e}^{j\varphi }$，它是一个复数，因此可以在复平面中表示为向量，其中$\varphi$是实数轴和相量之间的角度，$A$ 是向量的模：

图1：复平面中相量的表示

有时，$A{e}^{j\omega t}{e}^{j\varphi }$可以指相量，在这种情况下，矢量以角速度$\omega$逆时针旋转。

将单个信号表示为相量并没有什么实际意义，但是，相量图可以比代数更简单地解决两个或多个交流信号的一些问题，正如我们将在下一节中介绍的那样。

相量图由与上述相同的图形组成，但具有两个或多个向量。 例如，考虑一个交流信号，其电压和电流相移为 $\varphi$：$V(t)=V_{sin}(\omega t)$；$ I(t)=I\sin(\omega t+\phi)$。 在这种情况下，我们将 $V(t)$ 表示为与实数轴对齐的参考相量，并将 I(t) 表示为逆时针方向的角度$\varphi$：

图2：两个相移信号的相量图
在这种特殊情况下，电流超前电压，或者我们也可以说电压滞后电流。 有关此事实的更多信息可以在[分相器](#)文章中找到。

我们注意到，由于相量表示特定时间段内信号的状态，因此如果我们取 $t\ne 0$，则可以得到无穷大的图。 因此，图3 中的下图与图2 中的图严格相似。

图3：t≠0 时的相量图

然而，我们更喜欢绘制如图 2 所示的图表，因为它建立了参考，并且角度 $\omega t$ 不相关。

在关注相量代数之前的最后一个评论是添加那些仅当信号具有相同频率时才能绘制的相量图。 两个不同步的信号之间的相移不是恒定的，因此不同时间 $t_1$ 和 $t_2$ 的相量图会发生变化。

3、相量代数

3.1 加减

当我们需要对两个不同相的信号进行相加和相减时，相量图非常方便。

当两个信号同相时，假设 $V_1(t)=v_1\sin (\omega t)$和 $V_2(t)=v_2\sin (\omega t)$ 确实很容易将它们相加：$V_1(t)+V_2(t)=(v_1+v_2))\sin (\omega t)$。 然而，当信号不同相时，由于简介中提到的原因，该过程不起作用。

考虑相移$\varphi$弧度的相同频率的两个电压信号：$V_1(t)=v_1\sin (\omega t)$ 和 $V_2(t)=v_2\sin (\omega t+\varphi )$。 图4 显示了添加这两个相量的过程：

图4：两个相量相加

由于加法是交换运算，两种处理方式将导致相同的结果：从 $V_1$ 添加 $V_2$（蓝色虚线）或从 $V_2$ 添加 $V_1$（红色虚线）。

如果我们将图4 的网格视为每个分区代表 1 V，则我们可以确定 $V_1+V_2$ 的新幅度和相位。 我们可以看到$V_1+V_2$可以写成$5+5j$的复数。 因此，输出幅度为 $\sqrt{52+52}=\sqrt{50}\approx 7V$，相位为 45° 或 $\pi /4$ 弧度。 最后，我们可以说$V_1+V_2=7\times \sin (\omega t+\pi /4)$。

这两个信号相减的过程是相同的，但是减法不可交换。 这意味着 $V_1-V_2$ 或 $V_2-V_1$ 的结果是不同的，正如我们习惯的实数一样：

图5：两个相量相减

$V_1-V_2$ 或 $V_2-V_1$ 的幅度相同，在我们的示例中等于 $\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}\approx 5.1V$。V1-V2 的相位等于 $atan(-5/1)\approx -79°$，$V_2-V_1$的相位为$-79+180°=101°$。

相量图对于某些特定问题特别有帮助。 事实上，考虑两个频率相同的信号 $V_1$ 和 $V_2$，它们相移角度$\varphi$，如图 4 所示。

问题是：导致破坏性干扰（例如$V_1+V_2+V_3=0$）的第三信号$V_3$需要哪个相位和幅度？

相图快速直观地解决了这个问题：

图6：三信号相消干涉

3.2 差异化与整合

相量的微分或积分有助于求解与一阶或二阶电路相关的微分方程。

为了理解如何在相图中表示微分或积分，我们从复数形式开始并考虑相量 $A{e}^{j(\omega t+\varphi )}$。

$s(t)$ 的微分由等式 4 中的表达式给出：

等式4：复杂交流信号的微分

$s(t)$的积分由等式5中的表达式给出：

等式5：复杂交流信号的积分

虚数单位j可以重写为$e^{j\pi /2}$，因此微分运算类似于将相量乘以ω并进行$+\pi /2rad$或+90°的旋转。 积分类似于将相量乘以 $1/\omega$，然后进行 $-\pi /2rad$ 或 -90° 的旋转，如图 7 所示：

图7：相图中的微分相量和积分相量

考虑一个 RC 串联电路，其中输入电压为正弦参考 $V_1=v_1{e}^{j\omega t}$，输出电压为未知 $V_2$。

图8：RC串联电路

电压通过以下微分方程联系起来，由于推导公式，可以用经典形式（等价符号左侧）或相量符号（右侧）来编写：

等式6：RC串联电路的微分方程

从这个方程中，我们可以将未知的 $V_2$ 表示为参考电压的函数：

可以通过将分子和分母与复共轭相乘来重写：

等式7：相量 V2 的表达式

根据这个表达式，我们可以在图 9 的相图中表示 RC 电路的相量，然后将两个相量相加以得出 $V_2$ ：

图9：RC 串联电路的输入和输出相量的表示

$V_2$ 的幅度和相位都可以使用之前解释过的相同过程从该相图中测量。

4、总结

• 本文展示了一种表示和实现交流信号代数的新方法，称为相量。 相量既可以用复数表示法表示，也可以在复平面上图形化地表示为矢量，其范数表示信号的幅度和角度和相位。
• 当在同一相图中表示两个或多个信号时，其中一个信号始终充当相位为 0° 的参考信号，与实数轴对齐。 加法运算是可交换的，因此可以通过两种方式实现，但结果相同。 减法的实现与加法类似，但不可交换。
• 当在同一相图中表示两个或多个信号时，其中一个信号始终充当相位为 0° 的参考信号，与实数轴对齐。 加法运算是可交换的，因此可以通过两种方式实现，但结果相同。 减法的实现与加法类似，但不可交换。