从一个问题开始
“要想富，先修路”，郝乡长最近为了德胜乡修路的事情愁白了头。
得胜乡有A、B、C、D、E、F、G七个村子，现在需要修路把7个村庄连通，但是又想要耗费的公路建材最少（修建公路的总里程最短），聪明的你是否有什么好办法呢？
注：各个村庄的距离用边线（权值）来表示。
我们可以帮助郝乡长想想这个问题的解。思路上，尽可能选择少的路线，并且每条路线最小，是不是就能保证总里程数最小呢？
关于最小生成树
修路问题其实本质上是最小生成树问题。这里先介绍下最小生成树（Minimum Cost Spanning Tree）,简称MST。
- 给定一个带权的无向连通图，如何选取一棵树，使得树上所有边上权的总和为最小，这个树就叫最小生成树
- 包含全部顶点
- N个顶点则必有N-1条边
- N-1条边必都在图中
普利姆算法
普利姆算法解决的就是最小生成树的问题。
普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图。普利姆的算法如下:
- 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合
- 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1
- 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边 (ui,vj) 加入集合D中，标记visited[vj]=1
- 重复步骤2，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边
代码实现
public class PrimAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
//创建测试
char [] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
int verxs = data.length;
//邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000表示两点不连通
int [][]weight=new int[][]{
{10000,5,7,10000,10000,10000,2},
{5,10000,10000,9,10000,10000,3},
{7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
{10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
{10000,10000,8,10000,10000,5,4},
{10000,10000,10000,4,5,10000,6},
{2,3,10000,10000,4,6,10000}
};
//创建MGraph对象
MGraph graph = new MGraph(verxs);
//创建一个MinTree对象
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.createGraph(graph,verxs,data,weight);
//输出
minTree.showGraph(graph);
//测试普利姆（Prim）算法
minTree.prim(graph,0);
}
}
//创建最小生成树-> 村庄的图
class MinTree{
//创建图的邻接矩阵
/**
* @param graph 图对象
* @param verxs 图的顶点个数
* @param data 图的各顶点的值
* @param weight 图的邻接矩阵
*/
public void createGraph(MGraph graph,int verxs,char data[],int [][]weight){
int i,j;
for (i = 0; i < verxs; i++) {//顶点
graph.data[i] = data[i];
for (j = 0; j < verxs; j++) {
graph.weight[i][j]=weight[i][j];
}
}
}
//显示图的邻接矩阵
public void showGraph(MGraph graph){
for (int[] link : graph.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//编写prim算法，得到最小生成树
/**
* @param graph 图
* @param v 表示从图的第几个顶点开始生成，比如从A开始生成 则传0；从B开始生成则传1
*/
public void prim(MGraph graph,int v){
//标记顶点是否被访问过，默认全0，即均未访问过
int[] visited = new int[graph.verxs];
//把当前节点标记为已访问
visited[v]=1;
//h1,h2记录两个顶点的下标
int h1 = -1;
int h2 = -1;
int minWeight = 10000;//将minWeight初始成一个大数，后面遍历过程中，会被替换
for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) {//因为有graph.verxs个顶点，所以通过普利姆算法求出最小生成树后，有 （graph.verxs-1）条边
//确定每一次生成的子图和哪个节点的距离最近
for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {//i节点表示被访问过的节点（假想）
for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) {//j节点表示没有访问过的节点（假想）
if (visited[i]==1&&visited[j]==0&&graph.weight[i][j]<minWeight){//（前两个条件假想落实）拿访问过的节点到未访问过节点的最近距离
//替换为较小的minWeight
minWeight = graph.weight[i][j];
h1=i;
h2=j;
}
}
}
//找到了一条边
System.out.println("边<"+graph.data[h1]+","+graph.data[h2]+">权值："+minWeight);
//将当前这个节点标记为已访问
visited[h2] = 1;
//重置minWeight
minWeight = 10000;
}
}
}
class MGraph{
int verxs;//表示图的节点个数
char[] data;//存放节点数据
int [][] weight;//存放边，就是我们的邻接矩阵
public MGraph(int verxs){
this.verxs = verxs;
data = new char[verxs];
weight = new int[verxs][verxs];
}
}
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