经典算法-----汉诺塔问题

news2024/11/20 6:28:49

前言

今天我们学习一个老经典的问题-----汉诺塔问题，可能在学习编程之前我们就听说过这个问题，那这里我们如何去通过编程的方式去解决这么一个问题呢？下面接着看。

在这里插入图片描述

汉诺塔问题

问题描述

这里是引用汉诺塔问题源自印度一个古老的传说，印度教的“创造之神”梵天创造世界时做了 3 根金刚石柱，其中的一根柱子上按照从小到大的顺序摞着 64 个黄金圆盘。梵天命令一个叫婆罗门的门徒将所有的圆盘移动到另一个柱子上，移动过程中必须遵守以下规则：
每次只能移动柱子最顶端的一个圆盘；
每个柱子上，小圆盘永远要位于大圆盘之上；

下面展示一个三个的汉诺塔解决过程，如下图所示：
在这里插入图片描述

其他情况：

解决思路（分治算法）

看上面这几个图，我们是否发现这么一个特点，要想把A柱子（起始柱）上的汉诺塔转移到C柱子（目标柱）上，而且还要满足汉诺塔的基本条件，那就把第三个柱子作为辅助柱（B柱），假设A柱子上有n个汉诺塔，这时候先把A柱子除了最下面的一层，其余的全部汉诺塔先放到B柱子上面，然后再把A柱子最下面的汉诺塔放到C柱子上，然后把B柱子上面的汉诺塔重新放回给A柱子当中（这个过程，C柱作为辅助柱子，B是起始柱，A是目标柱），这个过程就完成了一次放置，此时A柱子上面就剩下n-1个汉诺塔，再次重复以上的过程，最后就完成了汉诺塔的转移。

汉诺塔问题中，3 个圆盘至少需要移动 7 次，移动 n 的圆盘至少需要操作 2^n-1 次。

在汉诺塔问题中，当圆盘个数不大于 3 时，多数人都可以轻松想到移动方案，随着圆盘数量的增多，汉诺塔问题会越来越难。也就是说，圆盘的个数直接决定了汉诺塔问题的难度，解决这样的问题可以尝试用分治算法，将移动多个圆盘的问题分解成多个移动少量圆盘的小问题，这些小问题很容易解决，从而可以找到整个问题的解决方案。

代码实现（C语言）

#include<stdio.h>

//打印移动的过程
void move(char x, char y) {
	printf("%c--->%c\n", x, y);
}

//递归移动
void generate(int n,char a, char b, char c) {
	if (n == 0)
		return;	//如果移动完成了就返回，开始递归运算

	//第一个过程，先把A柱子上的前n-1个汉诺塔移到B柱子上，再把最底下的那个汉诺塔移动到C上
	
	//此时a是起始柱子，c是目标柱，b是辅助柱		a--->c
	generate(n - 1, a, c, b);
	move(a, c);

	//第二个过程，当第一个过程完成了之后，就要把B柱子上的n-1个汉诺塔移回A柱子，这就是整体一个分支过程
	//此时b是起始柱，a是目标柱，c是辅助柱		b--->a
	generate(n - 1, b, a, c);
}

int main() {
	int n;
	printf("输入汉诺塔个数：");
	scanf("%d", &n);
	generate(n, 'A', 'B', 'C');
}