在MIMO系统中，预编码（发送端处理）和检测算法（接收端处理）的核心公式及其作用对比如下：

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1. 预编码算法（发送端）

预编码的目标是通过对发送信号进行预处理，优化空间复用或分集增益，并抑制干扰（如多用户干扰）。以下是典型预编码算法的公式：

(1) 奇异值分解（SVD）预编码

• 适用场景：单用户MIMO（点对点通信）。
• 公式：
  1. 对信道矩阵 $\mathbf{H}$ 进行SVD分解：
     $$\mathbf{H}=\mathbf{U\Sigma }{\mathbf{V}}^H$$
     其中 $\mathbf{U}$ 和 $\mathbf{V}$ 为酉矩阵，$\mathbf{\Sigma }$ 为奇异值矩阵。
  2. 预编码矩阵取 $\mathbf{V}$ 的前 $N_s$ 列（$N_s$ 为数据流数）：
     $$\mathbf{P}={\mathbf{V}}_{:,1:N_s}$$
  3. 接收端匹配滤波：${\mathbf{U}}^H$。
• 效果：将信道分解为并行独立子信道，无需接收端复杂检测。

(2) 迫零（ZF）预编码

• 适用场景：多用户MIMO下行链路（消除用户间干扰）。
• 公式：
  $$\mathbf{P}={\mathbf{H}}^H(\mathbf{H}{\mathbf{H}}^H{)}^{-1}$$
  • 若用户数为 $K$，$\mathbf{H}$ 为 $K\times N_t$ 信道矩阵（$N_t$ 为发送天线数）。
• 效果：完全消除用户间干扰，但放大噪声（尤其在信道病态时）。

(3) 最小均方误差（MMSE）预编码

• 适用场景：平衡干扰消除与噪声增强。
• 公式：
  $$\mathbf{P}={\mathbf{H}}^H{\left(\mathbf{H}{\mathbf{H}}^H+\frac{K{\sigma }_n^2}{P}\mathbf{I}\right)}^{-1}$$
  • ${\sigma }_n^2$ 为噪声功率，$P$ 为发送总功率。
• 效果：在干扰抑制和噪声放大间取得平衡。

(4) 正则化迫零（RZF）预编码

• 改进ZF：引入正则化参数 $\alpha$ 缓解矩阵病态问题。
• 公式：
  $$\mathbf{P}={\mathbf{H}}^H(\mathbf{H}{\mathbf{H}}^H+\alpha \mathbf{I}{)}^{-1}$$
  • 典型选择：$\alpha =\frac{K{\sigma }_n^2}{P}$。

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2. 检测算法（接收端）

检测算法的目标是从接收信号中恢复发送符号，抑制干扰和噪声。以下是典型检测算法的公式：

(1) 迫零（ZF）检测

• 公式：
  $$\hat{\mathbf{s}}=({\mathbf{H}}^H\mathbf{H}{)}^{-1}{\mathbf{H}}^H\mathbf{y}$$
  • $\mathbf{y}=\mathbf{Hs}+\mathbf{n}$ 为接收信号。
• 缺点：噪声放大（与ZF预编码类似）。

(2) 最小均方误差（MMSE）检测

• 公式：
  $$\hat{\mathbf{s}}={\left({\mathbf{H}}^H\mathbf{H}+{\sigma }_n^2\mathbf{I}\right)}^{-1}{\mathbf{H}}^H\mathbf{y}$$
• 优点：通过噪声功率 ${\sigma }_n^2$ 抑制噪声增强。

(3) 最大似然（ML）检测

• 最优性能：穷举所有可能的发送符号组合，最小化误差：
  $$\hat{\mathbf{s}}=\arg \underset{\mathbf{s}\in \mathcal{S}}{\min }\Vert \mathbf{y}-\mathbf{Hs}{\Vert }^2$$
  • $\mathcal{S}$ 为符号星座集合。
• 缺点：复杂度随天线数和调制阶数指数增长（$O(M^{N_s})$，$M$ 为调制阶数）。

(4) 线性均衡（LE）与干扰消除

• 线性均衡：广义ZF/MMSE检测。
• 非线性方法（如SIC）：
  • V-BLAST算法：逐层检测并消除已检测符号的干扰。
  • 公式（MMSE-SIC）：
    $${\hat{s}}_i=\text{Decode}\left(y_i-\sum _{j=1}^{i-1}{h}_j{\hat{s}}_j\right)$$
    其中 $h_j$ 为信道矩阵列向量。

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3. 预编码与检测算法的对比

算法类型	核心公式	目标	复杂度	适用场景
SVD预编码	$\mathbf{P}={\mathbf{V}}_{:,1:N_s}$	最大化单用户容量	$O(N_t^3)$	单用户MIMO
ZF预编码	$\mathbf{P}={\mathbf{H}}^H(\mathbf{H}{\mathbf{H}}^H{)}^{-1}$	消除多用户干扰	$O(K^3)$	多用户MIMO下行
MMSE预编码	$\mathbf{P}={\mathbf{H}}^H{\left(\mathbf{H}{\mathbf{H}}^H+\frac{K{\sigma }_n^2}{P}\mathbf{I}\right)}^{-1}$	平衡干扰与噪声	$O(K^3)$	中低信噪比多用户场景
ZF检测	$\hat{\mathbf{s}}=({\mathbf{H}}^H\mathbf{H}{)}^{-1}{\mathbf{H}}^H\mathbf{y}$	消除干扰（噪声放大）	$O(N_r^3)$	高信噪比接收端
MMSE检测	$\hat{\mathbf{s}}={\left({\mathbf{H}}^H\mathbf{H}+{\sigma }_n^2\mathbf{I}\right)}^{-1}{\mathbf{H}}^H\mathbf{y}$	抑制噪声与干扰	$O(N_r^3)$	通用接收场景
ML检测	$\hat{\mathbf{s}}=\arg {\min }_{\mathbf{s}\in \mathcal{S}}|\mathbf{y}-\mathbf{Hs}{|}^2$	最优性能	$O(M^{N_s})$	小规模MIMO（如2x2 QPSK）

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4. 关键区别与协同关系

1. 预编码 vs. 检测的定位：

   • 预编码：发送端主动优化信号空间分布（需CSI）。
   • 检测：接收端被动补偿信道损伤（需CSI或盲估计）。

2. 复杂度分布：

   • 预编码复杂度集中在发送端（基站），检测复杂度在接收端（终端）。
   • 大规模MIMO中，预编码复杂度可能成为瓶颈（如ZF需大规模矩阵求逆）。

3. 联合设计案例：

   • 多用户MIMO下行：基站用ZF预编码消除干扰，终端仅需简单解调。
   • 上行链路：基站用MMSE检测分离用户信号，终端无需预编码。

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5. 数学直观对比

• ZF预编码与ZF检测的对称性：

  • ZF预编码：$\mathbf{P}={\mathbf{H}}^H(\mathbf{H}{\mathbf{H}}^H{)}^{-1}$（发送端伪逆）。
  • ZF检测：$\hat{\mathbf{s}}=({\mathbf{H}}^H\mathbf{H}{)}^{-1}{\mathbf{H}}^H\mathbf{y}$（接收端伪逆）。
  • 本质相同：均通过信道矩阵伪逆消除干扰，但分别作用于发送端和接收端。

• MMSE的噪声适应性：

  • MMSE预编码/检测均引入噪声项（${\sigma }_n^2$），在高信噪比时退化为ZF。

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6. 总结

• 预编码更适合主动控制干扰（尤其下行链路），但依赖精确CSI。
• 检测算法是被动恢复信号的最后防线，对不完美CSI更鲁棒。
• 实际系统设计需权衡：
  • 预编码复杂度（如大规模MIMO中采用低复杂度RZF）。
  • 接收端能力（终端是否支持高复杂度检测如ML）。
  • 信令开销（CSI反馈频率与精度）。