「算法小记」-1：Ackermann函数/阿克曼函数的一点思考解法【递归/非递归/堆栈方法】（C++ ）

news2024/11/18 19:39:07

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本文目录

Ackermann函数详解
解法1：常规递归（只适合输入量很小的情况）
解法2：堆栈解法
解法3：优化递归（记忆数组）
解法4：数学归纳法（数学公式）
总结

Ackermann函数详解

Ackermann函数要求如下：

我们需要知道的是这个函数的时间复杂度增长的非常非常快，A（2，3）和A（5，0）应该差了几百个量级。
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咱们也不多废话，直接上多种代码解释吧。上对应代码把。

解法1：常规递归（只适合输入量很小的情况）

这个就是无限递归了，如果输入量是 2 3，这种很容易就出答案，因为很容易算。

但是这个代码只适合不限制时间的情况下进行操作。大家可以尝试用这个代码用A（5,0）来处理，会发现出不了结果，直接程序卡死了。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int A(int i,int j)
{
    if(i>0&&j>0){
    	return A(i-1,A(i,j-1));
	}
    else if(i==0){
    	return j+ 1;
	}
	else{
		return  A(i-1,1);
	}

}

int main()
{
	int a,b;
	cin >> a>>b;
	int ans = A(a,b);
	cout << ans %1000000009<<endl;
}

解法2：堆栈解法

创建一个数组，当成一个堆栈。也是一种常见解法。

但是这种如果做A（5，0）也是出不了结果，会超出时间。

#include<iostream>
using namespace std;
int A(int m,int n)
{
	int a[100000];
	int i=0;
	while(1){
		if(0==m){
			if(0==i){
				return ++n;
			}
			n++;
			m=a[i--];
		}
		if(0==n){
			m--;
			n++;
		}

		if( 0!=m && 0!=n){
			a[++i]=m-1;
			n--;
		}
	}
}
int main()
{
	int m,n;
	cin >> m >> n;
	int b=A(m,n);
	cout<<b <<endl;;
	return 0;
}

解法3：优化递归（记忆数组）

直接开数组进行算过的存起来，然后进行优化，相当于剪枝。

但是需要注意二维数组开的时候，一维开小一些，二维开10的6次方就够用。

我最开始开2000x2000的数组，一直出错，因为二维马上就不够了。

大家可以观察这个数组，把记忆数组一维开小一些，就能解决了。


#include <iostream>
using namespace std;
const int mod = 1000000009;
const int MAXN = 10; 
const int MAXN2 = 1000000; 
int memo[MAXN][MAXN2];
int A(int i, int j) {
    if (i ==0) return (j+ 1) % mod;
    if (j ==0) return A(i-1, 1);
    if (memo[i][j] != 0) {
    	return memo[i][j];
	}
    int result = A(i-1, A(i, j-1));
    memo[i][j] = result;
    return result;
}
int main() {
    int a, b;
    cin >> a >> b;
    int ans = A(a, b);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

解法4：数学归纳法（数学公式）

其实我们可以看到，这个用数学归纳法，可以进行数学归纳。

在这里插入图片描述
归纳的话，我们只归纳到3的层次，大家感兴趣可以自己往后推。


#include<iostream>
#include<cmath>//pow函数
using namespace std;
int main(){
	int m,n;
	cin>>m>>n;
	if(m==0) cout<<n+1<<endl;
	if(m==1) cout<<n+2<<endl;
	if(m==2) cout<<2*n+3<<endl;
	if(m==3) cout<<pow(2,n+3)-3<<endl;	
}