顾樵 量子力学I 导读（1）

news2024/11/18 19:33:04

波函数与薛定谔方程

i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\bigtriangledown^2\Psi + V(r)\Psi

  • 薛定谔方程的获得
    • 经典电磁波理论与德布罗意关系

\bigtriangledown^2\psi(r)+(\frac{2\pi}{\lambda})^2\psi(r)=0

p=\frac{h}{2\lambda},T=\frac{p^2}{2m}=E-V(r)

  • 波函数的性质
    • 波函数是平方可积函数（归一化条件）
    • 波函数和波函数的导数是连续的
    • 波函数的单值的
    • 波函数在势场奇点以外的地方连续
  • 力学量的平均值与期待值
    • 粒子动量的期望值<p>=m\frac{d<x>}{dt}
    • Ehrenfest's theorem \frac{d<p>}{dt}=<-\frac{\partial V}{\partial x}>
  • 自由粒子的速度v=\frac{J}{\rho}
    • 概率密度 \rho\equiv |\Psi|^2
    • current density of probability J\equiv -\frac{i\hbar}{2m}(\Psi^*\Psi_x-\Psi^*_x\Psi)
  • bound state
    • 利用束缚本征态的叠加构造薛定谔方程的一般解
    • 束缚态粒子具有分立的能量
  •  scattering state
    • 量子力学的自由粒子不受束缚，可以出现在空间的任何位置
    • 量子力学的自由粒子具有连续变化的动量值与能量值（连续谱）
    • 量子力学的自由粒子对应的是经典力学中速度为常数的粒子

  • 一维束缚态的性质
    • 能级非简并 nondegenerate
    • 本征函数为实函数
    • 本征函数正交，完备，封闭

一维势场模型

  • 束缚态问题的一般解

\Psi(x,t)=\sum c_n\psi_n(x)exp(-\frac{i}{\hbar}E_n t)

  • 无限深势阱
    • 这些本征函数对势阱中心是奇偶交替的
      • even parity 
      • odd parity
    • 符合德布罗意驻波条件

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