目录
一、前言
二、堆排序
🍎方法一（自己写一个堆，在进行排序）
💦时间复杂度分析
🍐方法二（直接在数组上建堆）
💦向上调整建堆
💦向下调整建堆
💦时间复杂度分析（向上建堆和向下建堆熟优？）
💦升序（排序）建大堆还是小堆？
💦完整的堆排序（升序）图形和代码演示
三、共勉
一、前言
在上一篇博客，已经详细的讲解了 堆的创建、插入数据、删除数据、销毁，等操作。其实在我们平时的应用中，堆用到的最多的还是-------------堆排序和Topk问题。所以本篇博客，就来详细的讲解以上问题。
如果对----- 堆和二叉树还不太了解的可以取这里看看 O！！
详解二叉树和堆
二、堆排序
- 假如我们有一串乱序数组，如下：
现在想要对它进行排序，按照我们之前学过的知识，想要单纯的实现排序其实并不难，可以直接暴力排序，也可以冒泡排序，甚至使用库函数qsort进行排序……
但是，既然近期学习了堆，那么堆的一个重要应用就是进行堆排序，这里先简要提下：堆排序即快排的一种。在后面的学习中，我将为大家继续展开其它更多样的快排。今儿个就向各位浅谈下快排之一：堆排序
🍎方法一（自己写一个堆，在进行排序）
✨思路：在上篇博文中，我们模拟实现了堆，实现后即可对一串乱序数组进行堆排序。假设我们排升序，且堆为小根堆。实现过程非常简单。
1.首先，把数组的每个元素（HeapPush）插入到堆中。
2.其次，我们深知小根堆的堆顶是最小的数字，依次遍历堆顶（HeapTop）的元素，将堆顶元素赋值到数组里，从下标0开始，赋值后删除（HeapPop）堆顶元素，++数组下标。此时堆就会重新调整，最终堆顶依旧是最小的，再重复上述赋值堆顶到数组的操作，直到堆为空（HeapEmpty）
⭐：代码如下：void HPSort(int* a, int n) { HP ps; // 定义一个顺序表结构体 // 对堆结构进行初始化 HPInit(&ps); // 向堆结构中进行尾插数据 for (int i = 0; i < n; i++) { HPPush(&ps, a[i]); } int i = 0; // 当堆结构不为空时 while (!HPEmpty(&ps)) { a[i++] = HPTop(&ps); HPPop(&ps); } printf("进行堆排序：\n"); for (int j = 0; j < n; j++) { printf("%d ", a[j]); } } int main() { // 堆排序测试 int a[100]; int j = 0; int sum ; printf("请输入你要插入堆的数据(-1结束)：>\n"); for (int i = 0; i < 100; i++) { scanf("%d", &sum); if (sum == -1) { break; } a[j++] = sum; } HPSort(a, j); return 0; }⭐：实验效果图
💦时间复杂度分析
段一：
for (int i = 0; i < n; i++) { HPPush(&ps, a[i]); }此段代码的时间复杂度为O(N*logN)，因为HeapPush函数的内部执行过程就是把数组的每个元素插入堆中，有N次。接着，每插入一个数据都要重新向上调整（AdjustUp）高度次以确保为堆，每个都要调整高度次，高度为logN，综上此段为O(N*logN)
段二：
while (!HPEmpty(&ps)) { a[i++] = HPTop(&ps); HPPop(&ps); }此段的时间复杂度同样为O(N*logN)，原理跟上一段类似，不过多赘述。
✨分析：综上，时间复杂度为O(N*logN)，确实比我们先前的冒泡排序O(N^2)要快不少。但是，这个方法排序是及其不好的，因为难道说为了实现堆排序还要自己手写一个完整的堆吗？这么复杂的实现堆的过程还不如不用堆排序了，这种伤敌一千，自损八百的感脚实在是难受。更何况此法的空间复杂度也是很大的，达到了惊人的O(N)。原因是实现堆的过程是动态开辟的，所以空间复杂度自然是O(N)。可不可以换一更优的方法，但同样是利用堆的思想实现快排呢？
✨我们目前的要求：
- 依旧是堆的思想
- 时间复杂度O(N*logN)
- 空间复杂度O(1)
🍐方法二（直接在数组上建堆）
先看一下这个乱序数组
既然上文说到可以直接把它看作二叉树，那不妨把逻辑结构画出来看看：
接下来，我们就要进行建堆了，有两种方法：
- 使用向上建堆，插入数据的思想建堆
- 使用向下调整建堆
💦向上调整建堆
✨思路：首先，我们把第一个数字看成堆，也就是4，当第二个数字插入进去的时候，进行向上调整算法，使其确保为小堆，向上调整的算法在上篇博文已详细讲解过，不过多赘述。具体插入数据过程就是遍历数组，确保数组里每一个数进行向上调整算法
✨：向上/下调整算法： 详解向上/下调整算法
✨：画图演示：（小根堆）
✨：代码演示
void swap(HPDatatype* x, HPDatatype* y) { int temp = 0; temp = *x; *x = *y; *y = temp; } void AdjustUp(HPDatatype* a, int child) { // 计算父亲的小标 int parent = (child - 1) / 2; // 当 child 的小标大于 0 就继续 （也就小于是根节点位置） while (child > 0) { // 小堆 < // 大堆 > if (a[child] < a[parent]) { swap(&a[child], &a[parent]); child = parent; parent = (child - 1) / 2; } else { break; } } } // 向上调整建堆 void Heap(int* a, int n) { //建堆 int i = 0; for (i = 1; i < n; i++) //应该从i=1时遍历，因为第一个数据在堆里不需要调整，后续再插入时调整 { AdjustUp(a, i); } printf("堆：\n"); for (int j = 0; j < n; j++) { printf("%d ", a[j]); } } int main() { // 建堆测试 int a[100]; int j = 0; int sum ; printf("请输入你要插入堆的数据(-1结束)：>\n"); for (int i = 0; i < 100; i++) { scanf("%d", &sum); if (sum == -1) { break; } a[j++] = sum; } Heap(a, j); return 0; }✨：效果演示：
符合小根堆的性质
💦向下调整建堆
- 问题：能直接进行向下建堆吗？
答案：不能
解析：首先回顾下使用向下调整的前提是什么？必须得确保根结点的左右子树均为小堆才可，而这里，数组为乱序的，无法直接使用。
- 解决办法：从倒数第一个非叶结点开始向下调整，从下往上调
✨：分析：从该解决方案中，我们首先要找到这个倒数第一个非叶结点的数在哪？其实最后一个结点的父亲即为倒数第一个非叶结点。当我们找到这个非叶结点时，把它和它的孩子看成一个整体，进行向下调整。调整后，再将次父节点向前挪动，再次向下调整，依次循环下去。
- 再回顾下父亲和孩子间的关系：
- leftchild = parent*2 + 1
- rightchild = parent*2 + 2
- parent = (child - 1) / 2
✨：画图分析
✨：代码演示：建小堆（数据：4 ，2，7，8，5，0，6）
void swap(HPDatatype* x, HPDatatype* y) { int temp = 0; temp = *x; *x = *y; *y = temp; } // 向下调整 // 向下调整的前提：后面的数据是堆 void AdjustDown(HPDatatype* a, int n, int parent) { // 左孩子 int child = parent * 2 + 1; // 孩子可能会超出数组范围 while (child < n) { // 如果右孩子小于左孩子 // 找出小的那个孩子 // 保证右孩子存在且不越界 // 大堆 > // 小堆 < if (child + 1 < n && a[child+1] < a[child]) { //跳转到有孩子那里 child++; } // 开始向下调整 // 大堆 > // 小堆 < if (a[child] < a[parent]) { swap(&a[child], &a[parent]); parent = child; child = parent * 2 + 1; } else { break; } } } // 向下调整建堆 void Heap(int* a, int n) { //建堆 int i = 0; for (int i = ((n - 1) - 1) / 2; i >= 0; i--) { // 给定一个 a 数组，从 i 这个位置进行建堆， n 表示数组的大小 AdjustDown(a, n, i); } printf("堆：\n"); for (int j = 0; j < n; j++) { printf("%d ", a[j]); } } int main() { // 建堆测试 int a[100]; int j = 0; int sum ; printf("请输入你要插入堆的数据(-1结束)：>\n"); for (int i = 0; i < 100; i++) { scanf("%d", &sum); if (sum == -1) { break; } a[j++] = sum; } Heap(a, j); return 0; }✨：效果演示：
符合小根堆的性质
💦时间复杂度分析（向上建堆和向下建堆熟优？）
首先，我们画张图看下向上和向下建堆后的样子。
从上图中，我们可以看出，使用不同的方式建堆最后的样子是不同的，那哪种方式好呢？
✨:接下来，我将通过时间复杂度的方式为大家解惑：以一颗满二叉树为例：
✨向上建堆的时间复杂度：
时间复杂度计算的是其调整的次数，根据上文的知识我们已经知晓其是从数组的第二个元素开始的，也就是可以理解为第二层的第一个节点。计算的思想非常简单：计算每层有多少个节点乘以该层的高度次，然后累计相加即可。如下：
通过计算得知：向上建堆的时间复杂度为O(N*logN)
✨向下建堆的时间复杂度：
向下调整我们前面已经知道它是从倒数第1个非叶节点开始调整的，每层的调整次数为，该层的节点个数*该层高度减1，一直从第1层开始调直至倒数第2层，并将其依次累加，此计算过程和向上调整差不多，都是等比*等差的求和，过程如下：
通过计算得知：向下建堆的时间复杂度为O(N)
通过上述计算，我们得到如下：
- 向上建堆：O(N*logN)
- 向下建堆：O(N)
由此可见，使用向下建堆的方式更优，其时间复杂度较小。当然，使用向上建堆也是可以的，只不过向下建堆更好一点。
💦升序（排序）建大堆还是小堆？
✨思考：排升序，建小堆可以吗？-- 可以是可以，但没啥意思。
首先对 n 个数建小堆，选出最小的数，接着对剩下的 n-1 个数建小堆，选出第2小的数，不断重复上述过程……。建 n 个数的堆时间复杂度是O(N)，所以上述操作时间复杂度为O(N2)，效率太低，尤其是当数据量大的时候，效率更低，同时堆的价值没有被体现出来，还不如用直接排序。【最佳方法】排升序，因为数字越来越大，需要找到最大的数字，得建大堆
- 首先对 n 个数建大堆。
- 将最大的数（堆顶）和最后一个数交换，把最大的数放到最后。
- 前面 n-1 个数的堆结构没有被破坏（最后一个数不看做堆里面的），根节点的左右子树依旧是大堆，所以我们进行一次向下调整成大堆即可选出第2大的数，放到倒数第二个位置，然后重复上述步骤……。
【时间复杂度】：建堆时间复杂度为O(N)，向下调整时间复杂度为O(logN)，这里我们最多进行N-2次向下调整。
所以堆排序时间复杂度为 ：O = O(N) + O(N-2)*O(logN) = O(N*logN)，效率是很高的。
✨解决方案：升序建大堆，降序建小堆
💦完整的堆排序（升序）图形和代码演示
- 先看下建好大堆的样子：
- ✨思路：首先，得明确我们建堆后，此时堆顶就是最大的数据，现在我们把第一个数字和最后一个数字交换，把最后一个数字不看做堆里的，只需要数组个数N--即可。此时的左子树和右子树依旧是大堆，再进行向下调整即可。
- 画图解析过程：
- ✨：代码演示：
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <stdbool.h> #include <assert.h> // 数据类型存储 typedef int HPDatatype; // 数据交换 void Swap(HPDatatype* x, HPDatatype* y) { HPDatatype temp = 0; temp = *x; *x = *y; *y = temp; } // HPDatatype* a ：表述动态数组 // n :表示堆内（数组内）的数据个数 // parent :父节点的下标（开始在根节点） void AdjustDown(HPDatatype* a, int n, int parent) { // 左孩子 int child = parent * 2 + 1; // 防止孩子跑出数组范围(最后一个节点为叶子节点) while (child < n) { // 判断左右孩子那个大，将大的与父节点进行交换 // child+1 < n 表示确保右孩子存在 // 小堆 if (child + 1 < n && a[child] > a[child+1]) if (child + 1 < n && a[child] < a[child+1]) { // 如果右孩子比左孩子大 child++; } // 开始向下调整 // 小堆：if (a[child] < a[parent]) if (a[child] > a[parent]) // 大堆 { Swap(&a[child], &a[parent]); parent = child; child = parent * 2 + 1; } else { break; } } } void HPSort(int* a, int n) { // 在原有的数据上（数组）创建一个堆 // 从倒数第一个非叶子节点的子树开始调整(最后一个节点的父亲) for (int i = ((n - 1) - 1) / 2; i >= 0; i--) { AdjustDown(a, n, i); } // 升序建大堆（根位置和最后的位置交换） int end = n - 1; //最后一个叶子节点下标 while (end > 0) { Swap(&a[0], &a[end]); // 开始向下调整 AdjustDown(a, end, 0); end--; } printf("堆排序结果展示：\n"); for (int j = 0; j < n; j++) { printf("%d ", a[j]); } } int main() { // 堆排序测试 int a[100]; int j = 0; int sum; printf("请输入你要插入堆的数据(-1结束)：>\n"); for (int i = 0; i < 100; i++) { scanf("%d", &sum); if (sum == -1) { break; } a[j++] = sum; } HPSort(a, j); return 0; }✨：效果演示：
三、共勉
以下就是我对数据结构---堆排序的理解，如果有不懂和发现问题的小伙伴，请在评论区说出来哦，同时我还会继续更新对数据结构-------堆的应用TopK问题，请持续关注我哦！！！！
