【数据结构】堆的应用-----TopK问题

news2025/1/14 20:51:01

一、前言

二、Top-k问题

💦解法一：暴力排序

💦解法二：建立N个数的堆

💦解法三：建立K个数的堆（最优解）

三、完整代码和视图

四、共勉

一、前言

在之前的文章中，已经详细的讲解了二叉树、堆、堆排序。那么关于堆还有一个比较有意思的题，就是TopK问题。

如果对堆和二叉树还不够了解的可以看看我之前的文章哦！！！

详解二叉树和堆

二、Top-k问题

Top-k问题：在 N 个数中，找出前 K 个（最大/最小）的元素，一般情况下数据量 N 都远大于 k。

Top-k问题在生活中是非常的常见，比如游戏中某个大区某个英雄熟练度最高的前10个玩家的排名，我们就要根据每个玩家对该英雄的熟练度进行排序，可能有200万个玩家，但我只想选出前10个，要对所有人去排个序吗？显然没这个必要。

再比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

💦解法一：暴力排序

对于Top-K问题，首先想到的最简单直接的方式就是排序。

我们用堆排序，其时间复杂度为：O(N*log2N)。

但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了（可能数据都不能一下子全部加载到内存中）。

💦解法二：建立N个数的堆

建一个 N 个数的堆（C++中可用优先级队列priority_queue），不断的选数，选出前 k 个。

时间复杂度：建N个数的堆为O(N)，获取堆顶元素 (也即是最值) 并删除掉堆顶元素为O(log2N)，上述操作重复 k 次，所以时间复杂度为O(N+k*log2N)。

【思考】

能否再优化一下呢？假设 N 是 10 亿数，内存中放不下，是放在文件中的。前面两个方法都不能用了。

💦解法三：建立K个数的堆（最优解）

✨基本思想：

用数据集合中前K个元素来建堆。

找前 k 个最大的元素，则建小堆

找前 k 个最小的元素，则建大堆

用剩余的 N-K 个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则删除堆顶元素，再插入。

找前 k 个最大的元素，大于堆顶元素，则删除堆顶元素，再插入

找前 k 个最小的元素，小于堆顶元素，则删除堆顶元素，再插入

将剩余的 N-K 个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

✨时间复杂度：

▶ 建 k 个元素的堆为O(K)；
▶ 遍历剩余的 N-K 个元素的时间代价为O(N-K)，假设运气很差，每次遍历都入堆调整；
▶ 入堆调整：删除堆顶元素和插入元素都为O(log2K)；
▶ 所以时间复杂度为O(k + (N-K)log2K)。当 N 远大于 K 时，为O(N*log2K)，这种解法更优。

✨假如要找出最大的前 10 个数：

▶ 建立 10 个元素的小堆，数据集合中前 10 个元素依次放入小堆，此时的堆顶元素是堆中最小的元素，也是堆里面第 10 个最小的元素，
▶ 然后把数据集合中剩下的元素与堆顶比较，若大于堆顶则去掉堆顶，再将其插入，
▶ 这样一来，堆里面存放的就是数据集合中的前 10 个最大元素，
此时小堆的堆顶元素也就是堆中的第 10 个最大的元素

✨思考：为什么找出最大的前10个数，不能建大堆呢？

如果你建的10个元素的大堆，堆顶元素恰好是数据集合中最大的那个，那第2大的数、第3大的数不就能找不到了。

三、完整代码和视图

以从1w个数里找出最大的前10个数为例：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
#include <stdbool.h>

typedef int HPDatatype;
void Swap(HPDatatype* x, HPDatatype* y)
{
	HPDatatype temp = 0;
	temp = *x;
	*x = *y;
	*y = temp;
}

void AdjustDown(HPDatatype* a,int n,int parent)
{
	// 左孩子
	int child = parent * 2 + 1;
	// 防止越界
	while (child < n)
	{
		//小堆
		if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1])
		{
			child++;
		}

		// 开始向下调整
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void TopK(HPDatatype* a, int n, int k)
{
	HPDatatype* kminHeap = (HPDatatype*)malloc(sizeof(HPDatatype) * k);
	assert(kminHeap);
	// 1. 建堆----用a中前k个元素建堆
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		kminHeap[i] = a[i];
	}
	// 建小堆
	for (int j = ((n - 1) - 1) / 2; j >= 0; j--)
	{
		// 从倒数第一个非叶子节点开始
		AdjustDown(kminHeap, k, j);
	}
	// 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶的元素交换，比堆顶大，交换
	for (int i = k; i < n; i++)
	{
		if (a[i] > kminHeap[0])
		{
			kminHeap[0] = a[i];//如果比堆顶大，就替换
			AdjustDown(kminHeap, k, 0);//向下调整确保为堆
		}
	}
	for (int j = 0; j < k; j++)
	{
		printf("%d ", kminHeap[j]);
	}
	printf("\n");
	free(kminHeap);
}


int main()
{
	int n = 10000;
	int* a = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
	srand(time(0));
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		a[i] = rand() % 1000000; //产生一个随机数，数值均小于100万
	}
	a[5] = 1000000 + 1;
	a[1231] = 1000000 + 2;
	a[531] = 1000000 + 3;
	a[5121] = 1000000 + 4;
	a[115] = 1000000 + 5;
	a[2335] = 1000000 + 6;
	a[9999] = 1000000 + 7;
	a[76] = 1000000 + 8;
	a[423] = 1000000 + 9;
	a[3144] = 1000000 + 10;
	TopK(a, n, 10);
	return 0;
}