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【动态规划】【数组】【2023-10-03】

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题目来源

123. 买卖股票的最佳时机 III

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题目解读

有一个表示股票价格的数组，你需要计算出在最多可以完成两笔交易的前提下可获得的最大收益，你必须在再次购买之前卖掉之前的股票。

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解题思路

又是认真学习 买卖股票的最佳时机 III 官方题解的一天。

方法一：动态规划

状态
我们在任意的一天交易之后，会有以下五种状态：

• 没有进行任何交易；
• 只有过一次买操作，记为 $bu{y}_1$；
• 进行了一次买操作和一次买操作，即完成了一笔交易，记为 $sel{l}_1$；
• 在完成看第一笔交易之后，进行了第二次买操作，记为 $bu{y}_2$;
• 完成了全部的两笔交易，记为 $sel{l}_2$；

转移关系

如果我们知道了第 i-1 天的这四个状态，那么就可以通过第 i-1 天转移到第 i 天，具体地：

• 对于 $bu{y}_1$：在第 i 天可以不进行任何操作，那么这一天的 $bu{y}_1$ 等于前一天的只进行一次买操作获得的最大利润，我们记为 $bu{y}_1^{{}^{\prime }}$；如果在第 i 天只进行了一次买操作，那么这一天的 $bu{y}_1$ 等于前一天的不进行操作获得的最大利润。因此，$bu{y}_1=max(bu{y}_1^{{}^{\prime }},-prices[i])$。
• 对于 $sel{l}_1$：在第 i 天可以不进行任何操作，那么这一天的 $sel{l}_1$ 等于前一天的完成了一笔交易获得的最大利润，我们记为 $sel{l}_1^{{}^{\prime }}$；如果在第 i 天只进行了一次卖操作，那么这一天的 $sel{l}_1$ 等于前一天的进行一次买操作获得的最大利润。因此，$sel{l}_1=max(sel{l}_1^{{}^{\prime }},bu{y}_1^{{}^{\prime }}-prices[i])$。
• 同理可得：
  • $bu{y}_2=max(bu{y}_2^{{}^{\prime }},sel{l}_1^{{}^{\prime }}-prices[i])$；
  • $sel{l}_2=max(sel{l}_2^{{}^{\prime }},bu{y}_2^{{}^{\prime }}+prices[i])$。

在考虑边界条件时，我们需要理解下面的这个事实：

无论题目中是否允许「在同一天买入并且卖出」这一操作，最终的答案都不会受到影响，这是因为这一操作带来的收益为零。

因此，最终的状态转移方程为：

$$\{\begin{array}{c}bu{y}_1=\max \left(bu{y}_1,-prices\left[i\right]\right)\\ sel{l}_1=\max \left(sel{l}_1,bu{y}_1+prices\left[i\right]\right)\\ bu{y}_2=\max \left(bu{y}_2,sel{l}_1-prices\left[i\right]\right)\\ sel{l}_2=\max \left(sel{l}_2,bu{y}_2+prices\left[i\right]\right)\end{array}$$

base case

那么对于边界条件，我们考虑第 =0 的四个状态：$bu{y}_1$ 为以 $prices[0]$ 价格买入股票，因此 $bu{y}_1=prices[0]$；$sel{l}_1$ 为同一天买入并卖出 ，因此 $sel{l}_1=0$；$bu{y}_2$ 即为在同一天买入并且卖出后再以 $prices[0]$ 的价格买入股票，因此 $bu{y}_2=-prices[0]$；同理可得 $sel{l}_2=0$。

最后返回

在动态规划结束后，由于我们可以进行不超过两笔交易，因此最终的答案在 0，$sel{l}_1$ 和 $sel{l}_2$ 中，为三者中的最大值。然而我们可以发现，由于在边界条件中，$sel{l}_1$ 和 $sel{l}_2$ 的值已经为 0，并且在状态转移的过程中我们维护的是最大值，因此 $sel{l}_1$ 和 $sel{l}_2$ 一定大于等于 0。同时，如果最优的情况对应的是恰好一笔交易，那么它也会因为我们在转移时允许在同一天买入并且卖出这一宽松的条件，从 $sel{l}_1$ 转移至 $sel{l}_2$ ，因此最终的答案即为 $sel{l}_2$。

实现代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        int buy1 = -prices[0], sell1 = 0;
        int buy2 = -prices[0], sell2 = 0;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            buy1 = max(buy1, -prices[i]);
            sell1 = max(sell1, buy1 + prices[i]);
            buy2= max(buy2, sell1 - prices[i]);
            sell2 = max(sell2, buy2 + prices[i]);
        }
        return sell2;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(n)$，$n$ 为数组 prices 的长度。

空间复杂度：$O(1)$。

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写在最后

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