OFDM系统中基于dmrs导频的时间跟踪、频率跟踪算法

news2025/2/5 5:52:55

发射端模型假设

我们假设如下模型：
一个时隙有14个ofdm符号，每个符号有1024个子载波。
其中792个子载波是数据子载波，232个子载波是空载波。
其中OFDM3和OFDM13的792个子载波中含有dmrs导频符号(频域)。

图中所示分别为ofdm3和ofdm13的频域帧结构，阴影部分为dmrs导频，其他地方为空。ofdm3和ofdm13的导频结构正交，导频间隔4个子载波，在792个有效子载波中共有198个导频符号。

$X_{4k+1,3}表示ofdm3中导频位置为第4k+1个子载波，k=0 - 197$ $X_{4k+3,13}表示ofdm13中导频位置为第4k+3个子载波，k=0 - 197$

构建发射端模型为：
$x_{n,M} = \frac{1}{N} \sum_{k=-512}^{511} X_{k,M} e^{j\frac{2\pi nk}{N}} , n=1-1024$

$x_{n,M}$ 为时域第M个ofdm符号的第n个码片， $X_{k,M}$ 为频域第M个ofdm符号的第k个子载波符号。
经过信道传输后，引入时延 $\tau$ 和频偏 $f_d$

接收端模型假设

则接收端接收模型可表示为：
$y_{n,M}= h\bigotimes x_{n-\tau,M} e ^{j2\pi f_d t_M} + w_{n,M}$
其中， $t_M$ 表示接收到ofdm M的时间，不妨假设 $t_3=0$ ， $t_{13}=\bigtriangleup t$ 。 $w_{n,M}$ 表示噪声。
假设信道是时域上不变，频域上变化的。即对于同一个子载波，不同时间的信道响应是相同的。但是同一时间，不同子载波的信道响应不相同。
将上式转换为频域表达式可得
$Y_{k,3}=H_{k} X_{k,3} e^{-j \frac{2\pi k}{N} \tau} +W_{k,3}$
$Y_{k,13}=H_{k} X_{k,13} e^{-j \frac{2\pi k}{N} \tau} e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t}+W_{k,13}$

观察第一个表达式我们可以得知，时延 $\tau$ 产生的相偏影响对于同一个ofdm符号的不同子载波是不同的，但是与时间无关，也就是对每个ofdm符号的影响是相同的。

观察第二个表达式我们可以得知，频偏 $f_d$ 对ofdm系统产生的相偏影响与时间t有关，和子载波k无关。也就是对于不同ofdm符号的影响是不同的，但是对于同一个ofdm符号的不同子载波是相同的

我们的目的就是估计出时延 $\tau$ 和频偏 $f_d$

时延估计（时间跟踪）

在已知导频的情况下，我们只需要提取出导频位置的子载波进行如下计算（*表示共轭）：
$Y_{4k+1,3}X_{4k+1,3}^* = |X_{4k+1,3}|^2 H_{4k+1} e^{-j \frac{2\pi (4k+1)}{N} \tau}+W_{4k+1,3}$
$Y_{4k+3,13}X_{4k+3,13}^* = |X_{4k+3,13}|^2 H_{4k+3} e^{-j \frac{2\pi (4k+3)}{N} \tau}e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t}+W_{4k+3,3}$
考虑到ofdm3和ofdm13的导频是正交的，他们所对应的子载波不同，他们不能直接共轭相乘，因此需要做如下步骤假设：

可以将上式化简为

$Y_{k_1,3}X_{k_1,3}^* = |X_{k_1,3}|^2 H_{k_1} e^{-j \frac{2\pi k_1}{N} \tau}+W_{k_1,3}$ $Y_{k_3,3}X_{k_3,3}^* = |X_{k_3,3}|^2 H_{k_3} e^{-j \frac{2\pi k_3}{N} \tau}+W_{k_3,3}$ $Y_{k_2,13}X_{k_2,13}^* = |X_{k_2,13}|^2 H_{k_2} e^{-j \frac{2\pi k_2}{N} \tau}e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t}+W_{k_2,3}$ $Y_{k_4,13}X_{k_4,13}^* = |X_{k_4,13}|^2 H_{k_4} e^{-j \frac{2\pi k_4}{N} \tau}e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t}+W_{k_4,3}$

接下来我们令：

$\begin{aligned} (Y_{k_1,3}X_{k_1,3}^*)(Y_{k_3,3}X_{k_3,3}^*)^* &= (|X_{k_1,3}|^2 H_{k_1} e^{-j \frac{2\pi k_1}{N} \tau}+W_{k_1,3})(|X_{k_3,3}|^2 H_{k_3} e^{-j \frac{2\pi k_3}{N} \tau}+W_{k_3,3})^* \\&=|X_{k_1,3}|^2|X_{k_3,3}|^2H_{k_1}H_{k_3}^*e^{-j \frac{2\pi k_1}{N} \tau}e^{j \frac{2\pi k_3}{N} \tau} +W_{3} \\&假设信道平坦，我们可以得到H_{k_1}=H_{k_3}，此处W_{3}指代所有的噪声项 \\&=|X_{k_1,3}|^2|X_{k_3,3}|^2|H_{k_1}|^2e^{j \frac{2\pi (k_3 - k_1)}{N} \tau}+W_{3} \end{aligned}$
　对99*2组导频进行累加，因为噪声W是白噪声，累加之后趋于0，可以忽略。
　累加之后再开平方可得
　 $\frac{N_p}{2}|X_{k_1,3}||X_{k_3,3}||H_{k_1}|e^{j \frac{2\pi (k_3 - k_1)}{2N} \tau}=\frac{N_p}{2}|X_{k_1,3}||X_{k_3,3}||H_{k_1}|e^{j \frac{2\pi (k_2 - k_1)}{N} \tau}$
　对于该结果，我们求其角度值可得
　 $\theta = \frac{2\pi (k_2 - k_1)}{N}\tau$
　根据帧结构我们可知 $k_2 - k_1=2$ ， $N = 1024$ ，带入即可求得时延 $\tau=\frac{\theta N}{2 \pi (k_2 - k_1)}$
　注意，由于 $\theta$ 的范围在 $-\pi,\pi$ 之间，因此，可以估算出的时延 $\tau$ 是有一个范围的。

频偏估计（频率跟踪）

在已经求得时延 $\tau$ 的基础上，我们进一步求频偏 $f_d$
接下来我们令：

$\begin{aligned} (Y_{k_2,13}X_{k_2,13}^*)(Y_{k_1,3}X_{k_1,3}^*)^* &= (|X_{k_2,13}|^2 H_{k_2} e^{-j \frac{2\pi k_2}{N} \tau}e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t}+W_{k_2,13})(|X_{k_1,3}|^2 H_{k_1} e^{-j \frac{2\pi k_1}{N} \tau}+W_{k_1,3})^* \\&=|X_{k_2,13}|^2|X_{k_1,3}|^2H_{k_2}H_{k_1}^*e^{-j \frac{2\pi k_2}{N} \tau}e^{j \frac{2\pi k_1}{N} \tau} e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t} +W \\&假设信道平坦，我们可以得到H_{k_1}=H_{k_2}，此处W指代所有的噪声项 \\&=|X_{k_2,13}|^2|X_{k_1,3}|^2|H_{k_2}|^2e^{j \frac{2\pi (k_1-k_2) }{N} \tau} e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t} +W \end{aligned}$
　　累加可得
　　 $\frac{N_p}{2}|X_{k_2,13}|^2|X_{k_1,3}|^2|H_{k_2}|^2e^{j \frac{2\pi (k_1-k_2) }{N} \tau} e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t}$
　　我们在求时延 $\tau$ 的时候就已经计算得到 $\frac{N_p}{2}|X_{k_1,3}||X_{k_3,3}||H_{k_1}|e^{j \frac{2\pi (k_2 - k_1)}{N} \tau}$ ，二者相乘可得
　　 $\frac{N_p^2}{4}|X_{k_2,13}|^2|X_{k_1,3}|^2|H_{k_2}|^2|X_{k_1,3}||X_{k_3,3}||H_{k_1}|e^{j \frac{2\pi (k_1-k_2+k_2-k_1) }{N} \tau} e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t} = M e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t}$
　　对该结果求角度可得
　　 ${\theta}^` = 2\pi f_d \bigtriangleup t$
　　 $\bigtriangleup t$ 为ofdm3和ofdm13的时间间隔，带入即可轻松求得频偏 $f_d = \frac{{\theta}^` }{2\pi \bigtriangleup t}$
　　注意，由于 ${\theta}^`$ 的范围在 $-\pi,\pi$ 之间，因此，可以估算出的频偏 $f_d$ 是有一个范围的。