正弦信号的平均功率和峰值电压计算举例

一、问题

假设加载在纯电阻为R=1Ω，频率为50Hz和60Hz的正弦信号的平均功率分别为0.5W和2W,请求解这两个信号的峰值电压 $U_{p1}$ 和 $U_{p2}$ 。

二、解答：

根据欧姆定律可知：对于纯电阻R两端的瞬时电流为
$I=\frac{U}{R}=\frac{U_{p}sin(2\pi ft)}{R}\tag{1}$
根据功率计算公式，则瞬时功率P为：
$P=UI=\frac{U^2}{R}=\frac{ { [U_{p}sin(2\pi ft)} ]^2 } {R}\tag{2}$

若求解平均功率 $\overline P$ ,根据式(2)可得:

$\overline P = \frac{1}{T}\int_0^T {\frac{{{{[{U_p}\sin (2\pi ft)]}^2}}}{R}dt} \tag{3}$

进一步，得到
$\overline P = \frac{1}{T}\int_0^T {\frac{{{{[{U_p}\sin (2\pi ft)]}^2}}}{R}dt} \\= \frac{{U_p^2}}{{TR}}\int_0^T {{{[\sin (2\pi ft)]}^2}dt} \tag{4}$

又由于 $\int_0^T {{{[\sin (2\pi ft)]}^2}dt}$ 可通过下面计算
$\dfrac{T}{2}-\dfrac{\sin\left(4\,\pi\,f\,T\right)}{8\,\pi\,f} \tag{5}$
若取 $T$ 为正弦信号的一个周期，则 $T = 1/ f$ ，那么式（5）得到：
$\dfrac{T}{2}-\dfrac{\sin\left(4\,\pi\right)}{8\,\pi\,f}=\frac{T}{2} \tag{6}$

将式子（6）带入式子（4）得到：

$\overline P = \frac{1}{T}\int_0^T {\frac{{{{[{U_p}\sin (2\pi ft)]}^2}}}{R}dt} \\= \frac{{U_p^2}}{{TR}}\int_0^T {{{[\sin (2\pi ft)]}^2}dt} \\=\frac{{U_p^2}}{{TR}} \frac{T}{2} \\=\frac{{U_p^2}}{{2R}} \tag{7}$

根据题设若R=1欧姆，平均功率分别为0.5瓦特和2瓦特，则带入式子（7）得到：
$0.5W=\frac{U^2_{p1}}{2\cdot1Ω} \tag{8a}$
$2W=\frac{U^2_{p2}}{2 \cdot 1Ω} \tag{8b}$
根据式子（8a）和（8b）可得：
$U_{p1}=1V \tag{9a}$
$U_{p2}=2V \tag{9b}$

综上分析计算可得：加载在纯电阻为R=1Ω，频率为50Hz和60Hz的正弦信号的平均功率分别为0.5W和2W,请求解这两个信号的峰值电压 $U_{p1}$ 和$U_{p2}分别为1V和2V.

三、仿真

根据上面的分析，编写程序，进行仿真。
编写的程序如下：


clc
clear all
close all

Fs=1000;
dt=1/Fs;
t=0:dt:0.1;

U1=sin(2*pi*50*t);
U2=2*sin(2*pi*60*t);
figure(20230908)
subplot(2,2,1)
plot(t,U1,'b',"LineWidth",2)
xlabel('Time [s]')
ylabel('Voltage [V]')
title('Subplot 1: U1=sin(2*pi*50*t)')

subplot(2,2,2)
plot(t,U2,'g',"LineWidth",2)
xlabel('Time [s]')
ylabel('Voltage [V]')
title('Subplot 2: U2=2*sin(2*pi*60*t)')

subplot(2,2,[3,4])
plot(t,U1,'b',t,U2,'g',"LineWidth",2)
xlabel('Time [s]')
ylabel('Voltage [V]')
legend("U1","U2")
title('Subplot 3 and 4: Both')