【01背包理论】01背包问题 dp[i][j]
有 n 件物品和一个最多能背重量为 w 的背包。
第 i 件物品的重量是 weight[i]，得到的价值是 value[i] 。
每件物品只有一个，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
题解
动态规划
-
确定 dp 数组以及下标的含义
dp[i][j] 表示从下标为 [0-i] 的物品里任意取，放进容量为 j 的背包，价值总和最大是多少。 -
确定递推公式
有两个方向推出来dp[i][j]：- 不放物品
i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同) - 放物品
i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]]是背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]（物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值。
所以递归公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
- 不放物品
-
dp 数组如何初始化
从 dp[i][j] 的定义出发，如果背包容量 j 为 0 的话，即 dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。
状态转移方程 可以看出 i 是由 i-1 推导出来，那么 i 为 0 的时候就一定要初始化，dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。- 当 j < weight[0] 的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
- 当 j >= weight[0] 时，dp[0][j] 应该是 value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。
-
确定遍历顺序
dp[i][j] 都是从其上方和左上方推导而来，有两个遍历的维度：物品与背包重量 -
举例推导 dp 数组（打印 dp 数组）
public class Solution {
public static void main(String[] args) {
int[] weight = {1,3,4};
int[] value = {15,20,30};
int bagSize = 4;
testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);
}
/**
* 动态规划获得结果
* @param weight 物品的重量
* @param value 物品的价值
* @param bagSize 背包的容量
*/
public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){
// 获取物品的数量
int goodsNum = weight.length;
//定义dp数组：dp[i][j]表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少
int[][] dp = new int[goodsNum][bagSize + 1];
// 初始化dp数组，其中默认的值就是0
for (int i = weight[0]; i <= bagSize; i++) {
dp[0][i] = value[0];
}
// //遍历，先遍历背包，再遍历物品（竖着遍历）
// for(int j = 1; j <= bagSize; j++) { // 遍历背包容量
// for(int i = 1; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
//遍历，先遍历物品，然后遍历背包重量（横着遍历）
for (int i = 1; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
for (int j = 1; j <= bagSize; j++) { // 遍历背包容量
if (j < weight[i]) {
/**
* 当前背包的容量都没有当前物品i大的时候，是不放物品i的
* 那么前 i-1个物品能放下的最大价值就是当前情况的最大价值
*/
dp[i][j] = dp[i-1][j];
} else {
/**
* 当前背包的容量可以放下物品i
* 那么此时分两种情况：
* 1、不放物品i
* 2、放物品i
* 比较这两种情况下，哪种背包中物品的最大价值最大
*/
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
}
}
}
// 打印 dp数组
for (int i = 0; i < goodsNum; i++) {
for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
System.out.print(dp[i][j] + "\t");
}
System.out.println("\n");
}
}
}
