多层感知机是一组前向结构的人工神经网络，映射一组输入向量到一组输出向量。除了输入节点，每一个节点都是一个带有非线性激活函数的神经元。多层感知机在输入层和输出层之间添加了一个或者多个隐藏层，并通过激活函数转换隐藏层输出。以下介绍几种激活函数。

4.1 多层感知机

4.1.1 RuLU函数

求导表现好，要么参数消失，要么参数通过，减轻了梯度消失问题。

%matplotlib inline
import torch
from d2l import torch as d2l

x=torch.arange(-8,8,0.1,requires_grad=True)
y=torch.relu(x)
# 此处使用detach().numpy()是因为带有梯度的不需要梯度
d2l.plot(x.detach().numpy(),y.detach().numpy(),"x","rule(x)",figsize=(3,3))

 

# torch.ones_like返回填充了标量值为1的张量
# retain_graph保留梯度,此处我不添加也不影响结果，暂时不知道为啥
y.backward(torch.ones_like(x))
d2l.plot(x.detach(),x.grad,"x","x.grad",figsize=(4,3))

 4.1.2 sigmoid函数

 sigmoid函数

y=torch.sigmoid(x)
d2l.plot(x.detach(),y.detach(),'x','sigmoid(x)',figsize=(4,3))

 sigmoid反向传播函数

# 清除之前的梯度
x.grad.data.zero_()
y.backward(torch.ones_like(x))
d2l.plot(x.detach(),x.grad,'x','grad of sigmoid',figsize=(4,3))

 4.1.3 tanh函数

 tanh函数

y=torch.tanh(x)
d2l.plot(x.detach(),y.detach(),'x','tanh(x)',figsize=(4,3))

 

x.grad.data.zero_()
y.backward(torch.ones_like(x))
d2l.plot(x.detach(),x.grad,'x','grad of tannh',figsize=(3,4))

 4.2 多层感知机简要实现（不使用torch工具包）

net = nn.Sequential(nn.Flatten(),nn.Linear(784,256),nn.ReLU(),nn.Linear(356,10))
def init_weight(m):
    if type(m)==nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight,std=0.01)
net.apply(init_weight)

batch_size, lr, num_epochs = 256, 0.1, 10
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)

train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)

4.4 模型选择、欠拟合和过拟合

我们训练模型的原因是为了提高模型的泛化能力，在未遇到的个体上，也可以很好的评估风险。

样本有限，当在训练数据上拟合比在潜在分布更接近的现象叫做过拟合。用于对抗过拟合的技术叫做正则化。

当训练误差和验证误差都很严重，但他们之间仅有一点差距的现象叫做欠拟合。

4.4.1 数据集

首先用n阶多项式生成训练集和测试集的标签

import math
import numpy as np
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

max_degree = 20  # 多项式的最大阶数
n_train, n_test = 100, 100  # 训练和测试数据集大小
true_w = np.zeros(max_degree)  # 分配大量的空间
true_w[0:4] = np.array([5, 1.2, -3.4, 5.6])

# 创建随机的训练和测试数据，并排成一列
features = np.random.normal(size=(n_train + n_test, 1))
# 打乱数据
np.random.shuffle(features)
# 求出【x^0,x^1,...,x^max_degree-1】，并改成一行
poly_features = np.power(features, np.arange(max_degree).reshape(1, -1))
# 每个x^i除以i!
for i in range(max_degree):
    poly_features[:, i] /= math.gamma(i + 1)  # gamma(n)=(n-1)!
# labels的维度:(n_train+n_test,)
labels = np.dot(poly_features, true_w)
labels += np.random.normal(scale=0.1, size=labels.shape)

# NumPy ndarray转换为tensor,这里不能注释
true_w, features, poly_features, labels = [torch.tensor(x, dtype=
    torch.float32) for x in [true_w, features, poly_features, labels]]
features[:2], poly_features[:2, :], labels[:2]

4.4.2 创建评估损失函数

def evaluate_loss(net, data_iter, loss):
    """评估给定数据集上模型的损失"""
    metric = d2l.Accumulator(2)  # 损失的总和,样本数量
    for X,y in data_iter:
        out=net(X)
        y=y.reshape(out.shape)
        l = loss(out,y)
        metric.add(l.sum(), l.numel())
    return metric[0]/metric[1]

4.4.3 创建训练函数

每训练20次计算损失比率

def train(train_features, test_features, train_labels, test_labels,
          num_epochs=400):
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    # 货期train_features最后一列
    input_shape = train_features.shape[-1]
    # bias=False表示不设置偏置值
    net = nn.Sequential(nn.Linear(input_shape, 1, bias=False))
    batch_size = min(10, train_labels.shape[0])
    # 抽取batch_size个数据
    train_iter = d2l.load_array((train_features, train_labels.reshape(-1,1)),
                                batch_size)
    test_iter = d2l.load_array((test_features, test_labels.reshape(-1,1)),
                               batch_size, is_train=False)
    # 优化算法采用SGD
    trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01)
    # xlim和ylim代表x轴和y轴的范围
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[1, num_epochs], ylim=[1e-3, 1e2],
                            legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        d2l.train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, trainer)
        if epoch == 0 or (epoch + 1) % 20 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('weight:', net[0].weight.data.numpy())

查看训练损失和测试损失

# 从多项式特征中选择前4个维度，即1,x,x^2/2!,x^3/3!
train(poly_features[:n_train, :4], poly_features[n_train:, :4],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

4.5 权重衰减

为了解决过拟合的问题，通过向损失函数中添加权重参数的平方和作为惩罚。损失函数可以这么写：L'=L+λ*||W||^2，λ用来控制惩罚的大小。由于惩罚项和参数的平方成正比，鼓励权重接近0，以此来减小模型复杂度。