📚 位数问题

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【题目名称】位数问题

【题目描述】

在所有的 $N$ 位数中，有多少个数中有偶数个数字 $3$ ? 由于结果可能很大，你只需要输出这个答案对 $12345$ 取余的值。

【输入】

读入一个数 $\le 1000)$ 。

【输出】

输出有多少个数中有偶数个数字 $3$ 。

【输入样例】

【输出样例】

【原题链接】

http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1313

☘️ 题解分析

本题对于 算法初学者 来说有点难度，且网络上的题解都不是特别清晰，故博主撰写了本篇详细的题解分析，希望能在未来帮助到更多的同学。

首先以 $N = 1$ ，即 一位数 为例，统计一位数中包含偶数个 3 的个数，记作 $f[1]_偶$ ；统计包含奇数个 3 的个数，记作 $f[1]_奇$

由于 0 也是偶数，所以「0 个 3」也满足偶数个 3 的条件，故 $f[1]_偶$ 为 1～2，4～9，共 8 个数（注意：0 不是一位数）， $f[1]_偶 = 8$
奇数个3 的情况只有单独的 3，所以 $f[1]_奇 = 1$

🍉 PS：有的小伙伴可能会问，题目不是求偶数的情况就够了吗？为什么要还要统计奇数的情况？继续往下看，你就明白了）

然后以 $N = 2$ ，即 两位数 为例，统计两位数中包含偶数个 3 的个数，记作 $f[2]_偶$ ；统计包含奇数个 3 的个数，记作 $f[2]_奇$

对于 $f[2]_偶$ ，可以分两种情况进行统计：

十位为 3，则个位必须为奇数个 3，数量为 $f[1]_奇$
十位不为 3（十位可以为 1～2，4～9，共 8 个数），则个位必须为偶数个 3 ，数量为 $f[1]_偶$

所以 $f[2]_偶 = f[1]_奇 + 8 * f[1]_偶$

然后我们带入 $f[1]_奇$ 、 $f[1]_偶$ ，得 $f[2]_偶 = f[1]_奇 + 8 * f[1]_偶=1+8*8=64$ ，却发现与样例答案 73 不相等。❌

这是什么原因造成的呢 ? 🧐

实际上，当我们单独拿 $f[1]_奇$ 、 $f[1]_偶$ 讨论时，由于 0 不为一位数，所以 $f[1]_偶$ 为 1～2，4～9，共 8 个。

但是当 $N = 2$ 时，由于十位上有了数字，所以此时个位上的数字是可以为 0 的，因此在计算 $f[2]_偶$ 时， $f[1]_偶$ 可以取到 0～2，4～9，共 9 个。（本质是 一位数 和 个位上的数字 的区别）

同理， $f[1]_奇$ 也要考虑 0 的情况，但是此时 0 并不满足「奇数个3的条件」，所以 $f[1]_奇$ 仍然为 1（这里 $f[1]_奇$ 的值虽然没有变，但是后面的 $f[2]_奇、f[3]_奇$ 、…、 $f[n]_奇$ 的值会在更新后发生改变）

把新的 $f[1]_偶$ 、 $f[1]_奇$ 的值带入，得到 $f[2]_偶 = f[1]_奇 + 8 * f[1]_偶=1+8*9=73$

即为样例答案 73。

同理， $f[2]_奇 = f[1]_偶 + 8 * f[1]_奇=9+8*1=17$

上面这个 $f[1]_偶$ 、 $f[1]_奇$ 为什么要更新的的原因，是本题的难点，也是本题的解题关键。现在不理解也没关系，继续往下阅读，再分析一个案例，也许你就理解了。

然后以 $N = 3$ ，即 三位数 为例，也是类似的过程。

对于 $f[3]_偶$ ，可以分两种情况：

百位为 3，则十位和个位总体必须为奇数个 3，数量为 $f[2]_奇$
百位不为 3，则十位和个位总体必须为偶数个 3，数量为 $f[2]_偶$

所以 $f[3]_偶 = f[2]_奇 + 8 * f[2]_偶$

同理， $f[3]_奇 = f[2]_偶 + 8 * f[2]_奇$

同样，由于在计算 $f[2]_奇$ 、 $f[2]_偶$ 时，十位不能为0；而引入百位后，十位可以为 0，所以如果要输出的是三位数的结果，则在计算 $f[2]_奇$ 、 $f[2]_偶$ 时，也需要考虑 0

现在我们 重新计算 求解 $f[3]_偶$ 、 $f[3]_奇$ 情况下的 $f[2]_偶$ 、 $f[2]_奇$

我们在上一步中计算的 $f[2]_偶 = f[1]_奇 + 8 * f[1]_偶=1+8*9=73$

其中 8 这个系数，是十位不为 3 ，取 1～2，4～9 得到的（当时十位不能为 0）。但是现在，由于十位可以为0 ，所以十位可以取 0～2，4～9 共 9 个数字，所以上面式子中的系数应该为 9，而不是 8。

所以新的 $f[2]_偶 = f[1]_奇 + 9 * f[1]_偶=1+9*9=82$

同理，新的 $f[2]_奇 = f[1]_偶 + 9 * f[1]_奇=9+9*1=18$

在得到了新的 $f[2]_偶$ 、 $f[2]_奇$ 后，再带入 $f[3]_偶 = f[2]_奇 + 8 * f[2]_偶$ ，就能得到正确的 $f[3]_偶$

🍉 PS： $f[3]_偶 = f[2]_奇 + 8 * f[2]_偶$ ，这里的系数 8 并不会变成 9，因为此时百位是最高位，不能为 0。

但是同理，当 $N = 4$ 时，由于有千位的存在，百位就可以为 0 ，那么计算 $f[3]_偶$ 时，其数值就应该更新为 $f[3]_偶 = f[2]_奇 + 9 * f[2]_偶$

上面推导过程中， $f[2]_偶$ 、 $f[2]_奇$ 为什么要更新，并且「公式系数从 8 改为 9」的原因，以及计算 $f[3]_偶$ 、 $f[3]_奇$ 时，「公式系数仍为 8 」的原因，是本题的难点，也是本题的解题关键。⭐️

根据上面的推导，我们可以得到最终 n 位数的结果：

$f[n]_偶 = f[n-1]_奇 + 8 * f[n-1]_偶$
$f[n]_奇 = f[n-1]_偶 + 8 * f[n-1]_奇$

而在计算 $f[n-1]_奇$ 、 $f[n-1]_偶$ 时，由于此时最高位可以为 0，上面递推式中表示 1～2，4～9的系数「8」就变成了0～2，4～9的系数「9」，递推公式为：

$f[n-1]_偶 = f[n-1]_奇 + 9 * f[n-1]_偶$
$f[n-1]_奇 = f[n-1]_偶 + 9 * f[n-1]_奇$

所以在书写代码时，也需要分为两个表达式来写。✅

🍉 PS1：在实际编程中，我们可以用 $f [N] [0]$ 来表示 $f[N]_偶$ ，用 $f [N] [1]$ 来表示 $f[N]_奇$

🍉 PS2：这种递推问题的答案可能很大，甚至超出 long long 的范围，所以不要忘记题干中的取模要求。

🧑🏻‍💻 C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 10;
const int K = 12345;
int n;
int f[N][2];  //f[n][0]表示 n位数 中包含偶数个3的情况

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);  //cin读入优化
    cin.tie(0);

    cin >> n;
    if (n == 1) {
        f[1][0] = 8;  //1~2,4~9 共 8 个
        f[1][1] = 1;  //3，共1个
        cout << f[1][0] << endl;
    } else {
        f[1][0] = 9;  //更高位上有数字，需要考虑0
        f[1][1] = 1;
      
        //递推2～n-1位数
        for (int i = 2; i <= n - 1; ++i) {
            //K = 12345
            f[i][0] = ((f[i - 1][1] % K) + (9 * (f[i-1][0] % K)) % K) % K;
            f[i][1] = ((f[i - 1][0] % K) + (9 * (f[i-1][1] % K)) % K) % K;
        }

        //单独计算n位数
        f[n][0] = ((f[n - 1][1] % K) + (8 * (f[n-1][0] % K)) % K) % K;
        cout << f[n][0] << endl;
    }

    return 0;
}