中心极限定理例题

news2025/1/16 8:55:26

关于大数定律的两个题目。

例1

在这里插入图片描述

注意牢记公式: P { X } = P { ∑ i = 1 n x i − n μ n σ < x } = ∫ − ∞ x e − x 2 2 d x 2 π P\{ X\} = P \{\frac { \sum_{i=1}^{n} x_i - n \mu}{\sqrt {n} \sigma} < x \} = \frac {\int _{-\infty} ^{x} e ^{- \frac {x^2}{2}}dx} {\sqrt {2 \pi }} P{X}=P{n σi=1nxinμ<x}=2π xe2x2dx

注意此处的分母是 n σ \sqrt{n} \sigma n σ σ \sigma σ σ 2 \sigma ^ 2 σ2是不同的,前者是标准差,后者是平方差。此公式的分子分母分别除以n后,转化为平均数的中心极限定理形式:
P { X } = P { x ˉ − μ σ n < x } = ∫ − ∞ x e − x 2 2 d x 2 π P\{ X\} = P \{\frac { \bar x - \mu}{ \frac{ \sigma} {\sqrt {n}} } < x \} = \frac {\int _{-\infty} ^{x} e ^{- \frac {x^2}{2}}dx} {\sqrt {2 \pi }} P{X}=P{n σxˉμ<x}=2π xe2x2dx

此外,还有一个标准化随机变量的形式:

x − μ σ \frac {x - \mu}{\sigma} σxμ

该形式在标准高斯分布和统计学中多有涉及。

例2

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

注意:

二项分布的分布率:
∑ k = 0 n P ( x = k ) = ∑ k = 0 n ( n k ) P k ( 1 − P ) n − k = ( P + 1 − P ) n = 1 \sum _{k = 0} ^{n} P(x = k) = \sum _{k = 0}^{n}{n \choose k} P ^{k} (1-P)^{n-k} = (P + 1 - P)^{n} =1 k=0nP(x=k)=k=0n(kn)Pk(1P)nk=(P+1P)n=1

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