介绍

二分查找法，也称为折半查找法，是一种在有序数组中查找特定元素的高效算法。其基本思路是将目标元素与数组中间的元素进行比较，从而可以确定目标元素可能在数组的哪一半，然后逐步缩小搜索范围，直到找到目标元素或确定其不存在为止。

思路

确定搜索范围： 首先，确定整个有序数组的搜索范围，即左边界和右边界。通常初始时左边界为数组的第一个元素索引，右边界为数组的最后一个元素索引。
计算中间元素： 计算左边界和右边界的中间索引，可以使用 (left + right) / 2 进行计算。这个中间元素将用于与目标元素进行比较。
比较与目标元素： 将目标元素与中间元素进行比较。如果目标元素等于中间元素，则找到了目标，返回中间元素的索引。如果目标元素小于中间元素，则说明目标可能在左半边，更新右边界为中间元素的前一个索引。如果目标元素大于中间元素，则说明目标可能在右半边，更新左边界为中间元素的后一个索引。
缩小搜索范围： 根据上一步的比较结果，缩小搜索范围。如果目标在左半边，就在左半边继续进行二分查找；如果目标在右半边，就在右半边继续进行二分查找。重复这个过程，不断缩小搜索范围，直到找到目标元素或搜索范围为空。
重复步骤： 重复执行步骤 2 到步骤 4，直到找到目标元素或搜索范围为空。如果搜索范围为空，说明目标元素不存在于数组中。

二分查找法的关键之处在于每一步都将搜索范围减半，因此它的时间复杂度为 O(log n)，其中 n 是数组中元素的数量。相较于线性搜索的 O(n) 时间复杂度，二分查找法在大型有序数组中能够显著提高搜索效率。

然而，二分查找法有一定的前提条件，即数组必须是有序的。如果数组无序，需要先进行排序操作，这会增加额外的时间复杂度。另外，在特定情况下，二分查找法可能不如其他算法高效，例如对于小规模数据或者频繁插入/删除元素的数据结构。

循环实现

from typing import List
class Solution:
  def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
    left = 0
    right = len(nums)-1
    while left <= right:
      # 计算出中位索引
      mid = (right-left)//2 + left
      num = nums[mid]
      if num == target:
        return mid
      elif num > target:
         right = mid - 1
      else:
        left = mid + 1
    return -1

详解

首先，我们通过 left 和 right 两个指针来表示当前搜索范围的左右边界。初始时，left 指向数组的第一个元素索引，right 指向数组的最后一个元素索引。
在 while 循环中，我们首先计算出当前搜索范围的中间索引 mid。这是通过 (right - left) // 2 + left 计算得出的。这个中间索引对应的元素 num 就是我们要和目标元素进行比较的值。
接下来，我们将 num 与目标元素 target 进行比较。有三种情况：
- 如果 num 等于 target，则说明我们已经找到目标元素，可以返回 mid。
- 如果 num 大于 target，说明目标元素可能在当前中间元素的左边，所以我们将 right 更新为 mid - 1，缩小搜索范围到左半部分。
- 如果 num 小于 target，说明目标元素可能在当前中间元素的右边，所以我们将 left 更新为 mid + 1，缩小搜索范围到右半部分。
循环会继续执行，不断更新 left 和 right，直到 left 大于 right，即搜索范围为空，或者直到找到目标元素为止。
如果循环结束时仍未找到目标元素，那么我们返回 -1，表示目标元素不存在于数组中。

递归实现1

def search(nums, target: int) -> int:
  left = 0
  right = len(nums)-1
  if nums !=[]:
    mid = (left + right)//2
    if target > nums[mid]:
      return search(nums[mid+1:],target)
    elif target < nums[mid]:
      return search(nums[:mid],target)
    else:
      return 1
  else:
    return -1

详解

首先，我们通过 left 和 right 两个指针来表示当前搜索范围的左右边界。初始时，left 指向数组的第一个元素索引，right 指向数组的最后一个元素索引。
然后，通过判断 nums 是否为空数组来决定是否进行递归。如果 nums 不为空，我们进入递归的判断过程。
在递归判断中，我们首先计算出当前搜索范围的中间索引 mid，通过 (left + right) // 2 计算得出。注意，这里没有加上 left，因为我们将对子数组进行递归，所以 mid 是相对于子数组的索引。
接下来，我们将 nums[mid] 与目标元素 target 进行比较。有三种情况：
- 如果 target 大于 nums[mid]，则说明目标元素可能在当前中间元素的右边，所以我们对 nums[mid+1:] 进行递归查找，返回递归结果。
- 如果 target 小于 nums[mid]，则说明目标元素可能在当前中间元素的左边，所以我们对 nums[:mid] 进行递归查找，返回递归结果。
- 如果 target 等于 nums[mid]，则说明我们已经找到目标元素，返回 1。
如果数组为空（即 nums 为空），那么直接返回 -1，表示目标元素不存在于数组中。

注意

递归的结束条件是 nums 为空，或者在递归过程中找到目标元素。这种递归实现在思想上与循环实现类似，不过它将搜索过程拆分为递归的子问题，每次通过截取子数组来缩小搜索范围

递归实现2

def search2(nums, target, left, right):
  if left <= right:
    mid = (left + right) // 2
    if target > nums[mid]:
      left = mid + 1
      return search2(nums, target, left, right)
    elif target < nums[mid]:
      right = mid - 1
      return search2(nums, target, left, right)
    else:
      return mid
  else:
    return -1

两个递归代码之间的区别

函数签名：
- 第一个代码片段中，函数 search 只接受 nums 和 target 作为参数，并在函数内部初始化 left 和 right。
- 第二个代码片段中，函数 search2 接受 nums、target、left 和 right 四个参数，这些参数直接影响递归调用时的搜索范围。
返回值：
- 第一个代码片段在找到目标元素时返回了固定的值 1，而应该返回 mid 作为目标元素在数组中的索引。
- 第二个代码片段在找到目标元素时返回了 mid，正确地表示了目标元素在数组中的索引。
递归调用：
- 第一个代码片段在递归调用时通过切片来截取子数组，这会产生额外的空间和时间开销。
- 第二个代码片段通过在递归调用时更新 left 和 right 来缩小搜索范围，避免了切片操作，从而提高了效率。